אלגברה לינארית ב
אלגברה לינארית ב -תרגול
מני אקא
מרכז הבינתחומי הרצליה
סמסטר ב' ,שנה א'2009 ,
תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא
רביעי14 ,אפריל2010 ,
עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר
http://idc.gadi.cc/compsci/
הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן
סטודנט לתואר מדעי המחשב
תוכן העניינים
שיעור 1.............................23.02.10 – 1
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של
מטריצות1..........................................
שיעור 1.............................03.03.10 – 2
שיעור 2.............................10.03.10 – 3
חישוב גרעין ותמונה2...........................
חזרה על וקטור קואורדינטות4...............
שיעור 7.............................17.03.10 – 4
תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה 7.
הצגת העתקה ע"י מטיצה9....................
שיעור ) 07.04.10 – 5אחרי פסח(1...........
הערות מתרגיל 1...............................1
שיעור 1.............................14.04.10 – 6
ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים ולכסון1. .
שלוש דוגמאות ללכסון2.......................
אינדקס4...............................................
שיעור 23.02.10 – 1
amenny@idc.ac.il
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace
ערך עצמיhttp://he.wikipedia.org/wiki/
} {
a1
n
V
=R
=
⋮ ...
מרחב וקטורי A .מטריצה ריבועית .nxn
an
למדנו:
⇔ ∣A∣≠0 ⇐ Y ank A=n
A x=b
פתרון יחיד
{0 }=nul
A
{ x ∣ A x=
}0
*
Bמטריצה nxn
B v =
⇔ ∣B∣=0קיים וקטורים≠ Vכך ש 0
מטרה:
בהנתן מטריצה ,Aלהבין איך Aפועלת על וקטורים
ולמצוא וקטורים שעליהם הוא היא פועלת באופן פשוט.
ℝn
מה ז”א “פועלת” ?
דוגמה:
2 0 0
A= 0 2 0
0 0 3
כפל בA -
ℝn
e 1=1,0,0
1
2
1
A
=
=2
0
0
0
)(1
0
0
0
e 2=0,1,0
0
A e 2= 2 =2 e 2
0
A e 3=3⋅e3
1
v ↦ Av
לינאריות
A3 e 14 e 2
=
3 Ae 14 A e 2=3⋅2 e 14⋅2 e 2 =2⋅3 e 14 e2
סמסטר ב
1
2
A 2 =A 1⋅e 12⋅e 23 e3 =1⋅A e 12 Ae 2 3 A e3=2 e12⋅2
e
3⋅3
e
=
2 3 4
3
9
מטרה:
בהינתן מטריצה ,Aמצאו כמה שיותר וקטורים )מטרה אולטימטיבית – למצוא
בסיס שלם( שעליהם Aפועלת בכפל בסקלר .כלומר,
מצאו V ≠0כך ש Av=av -עבור איזשהו a) a∈ℝיכול להיות אפס(.
שימו לב:
Av= x⋅vשקול לAv= xI v -
x 0 ⋯ 0
0 x ⋯ 0
0 0 ⋱ 0
0 0 0 x
=Av
⇔ xI −A v=0
מסקנה:
אם ∣xI − A∣=0אז קיים v ≠0כל ש. Av= x⋅v -
הוכחה:
עשינו )משתמשים ב (*-עבור B=xI −Aובשקילות האחרונה.
דוגמה:
A= 1 2
4 3
נבדוק את ∣∣xI − A
∣
∣ ∣ ∣
xI = x 0
0 x
x 0 − 1 2 = x−1 −2
0 x
4 3
−4 x−3
2
= x−1 x−3−8=x −4x3−8=x 2−4x−5= x1 x−5
ולכן x=5או x=−1
1 2 v=5⋅v
גילינו שקיים וקטור v ≠0כך ש-
4 3
1 2
וקיים וקטור w≠0כך שw=−1 w=−w -
4 3
נציב 5ב: ∣xI − A∣ -
v≠0
4 −2
5−1 −2
=
−4 2
−4 5−3
4 −2 v =xv= Av ⇔ xI − A v=0
−4 2
4 −2
נמצא את כל ה-v-ים כך שv =0 -
−4 2
4 −2 x 1 =0
נעשה R2 R1 R 2ונקבל
0 0 x2
2
:
4x 1−2x 2=0
1
ולכן
2
4x 1=2
1
= x 1וx 2=1 -
4 −2 2 =0
−4 2 1
−4 −2 1 = 0
−4 −2 2
0
*אופס ,איבדתי איזה דף פה באמצא*
למשל ,הוקטור העצמי של הערך המצצמי 5בדוגמה שלנו הוא למשל
וקטור עצמי שמתאים לע"ע
−1הוא למשל
−11
. V =ℝnעתה Aמטריצה ריבועית.
נסמן
n
} va={ v=ℝ ∣ Av=av , a∈ℝ
טענה:
Vaהוא תת מרחב של . ℝn
הוכחה:
)בוחן(
.1
0∈ Va
)לה משנה מהו :(A
A
0 =a⋅
0 =0
.2סגירות לחיבור
יהיו
. u , w∈Vaכלומר
, Av=av
. Aw=aw
נרצה להראות שA vw=a vw -
= A vw
נראה זאת Av Aw=avaw=a vw :
לינראיות
.3כפל בסקלר
מאוד דומה .תרגול.
3
12
.
ניסוח מחדש של המטרה:
בהינתן מטריצה :A
.1מצאו עבור אלה סקלרים ,aהמרחב Vaהוא לא מרחב האפס
)אלו הערכים העצמיים(.
.2עבור אותם -aים ש , va={0 } -מצאו בסיס למרחב
)אלו הוקטורים העצמיים(.
דוגמה:
A= 1 5
Av= xv
5 1
נחפש את הערכים העצמיים של .A
∣
? ∣xI− A∣=0
מהו
∣
= x−1 −5 = x−12−25 = 0
x−1
ולכן
או
x=−5
−5
. x=6
עברנו על )א( במטרה.
כלומר
dimV 60וdimV −40 -
ולכל סקלר אחר
dimW =0
dimVa=0כלומר . Va=0
, a≠6,−4
⇔ } w = {0
)ב( של המטרה :למצוא בסיס ל V 6 -ו. V −4 -
שלב זה :פתרון מערכת משוואות.
בסיס ל: V 6 -
אלו כל הוקטורים המקיימים Av=6vובאופן שקול . 6I−A v=0
זוהי מערכת משוואות ,נפתור אותה:
5 −5 x1 = 0
0 0 x2
0
x 1=1
R 2 R1 R 2
sp 11 ∈V
x 2=1
בסיס ל: V −4 -
6−1 −5 = 5 −5
−5 6−1 −5 5
נפתור את
−3 −3 x
0
−5 −5 1 = 0
x2
−4I− A
−4−1 −5 = −5 −5
−4−1 −5 −5 −5
4
v 4=sp 11
ולכןsp 11
ונגיע לפתרון הכללי
6,6
f 2=−1,1
1,0= 12 f 1− f 2
f 1=1,1
A 10 =
=
4,−4
A=
1
Af 1− Af 2
2
1
6f 14f 2
2
−1 2
2
2
2 −1
2 −1 2
: ∣xI − A∣=0 נשים מטרה )א( נפתור את
∣
∣
x1
−2
−2
x1
−2
−2
−2
x−2
1
−2
x− 2
1
−2
1
x−2
−2
1
x−2
∣
∣
C 12C 2 C 1
C 3−x −2C 2 C 3
C 12C 2 C 1
C 3−x −2C 2 C 3
∣
x1−4
x −22 x−2
−22x−4 x 1− x−22
0
1
0
∣
x1− 4
−22x− 4
0
x
x
1
−22 x−2
1− x−22
0
∣
∣
= − x−32⋅ − x −1−4 = − x−32 x 3
.( סיימנו את )א.( )פעמייםx=−3 )פעמיים( אוx=3 ולכן
3I−A xx = 00
2
: V 3 מטרה )ב( ע"מ למצוא את
נפתור את
1
4 −2 −2 x 1
0
=
0 0
0 x2
0
0 0
0 x3
0
Sp
<=
1
2
0
1
,
1
2
1
0
=V 3
5
31 −2 −2 x 1
0
=
−2
1
1 x2
0
−2
1
1 x3
0
x 2=0 , x 3=1 אזx 1= 1
2
אם
x 2=1 , x 3=3 אזx 2= 1
2
אם
:3x3 דוגמה
שיעור 03.03.10 – 2
חסר בנתיים.
1
שיעור 10.03.10 – 3
חישוב גרעין ותמונה
תרגיל:
חשב את הגרעין ואת התמונה של העתקה הגזירה מℝn 1 [ x ]ℝn [x ] -
פתרון:
נסמן ב D :ℝn 1 [ x ] ℝn [x ] -את העתקת הגזירה ,כלומר . D p x= p ' x
} kerD = { p x ∣ p ' x =0 } = {a0 ∣ a 0 ∈ℝ
kerD=sp 1
כלומר הפולינומים הקבועים ממימד .1
] D a0a1 x...a n x n =a12a 2...anx−1מתאפס כש a 1 ... a n -כולם אפסים [
התמונה תהייה ממימד ?.
n1−1=n
נבדוק מהי.
אנו יודעים שמתקבלים כל הפולינומים ממעלה ≥ . n−1
למשל ,התמונה של הפולינום
1 i
i−1
x
↦ i xלכל 0≤i≤n
D
ולכן ) x 0, x 1, ... , x n −1 ∈ Im(Dולכן )Rn−1 [ x ] = Sp x 0, x 1, .... , x n−1 ⊆ Im(D
] n=dim ℝ n−1 [xולכן יש בעצם שוויון כאן
כלומר ImD = Sp x 0, ... , x n−1
תרגיל:
הסבר:
תהי ] , T :ℝn [ x ] ℝn [ x
לדוגמה:
p x ↦ p x1− p xחשבו את הגרעין והתמונה.
↦ x2
x 12 −x 2 = x 22x1−x 2 = 2x1
T
x ↦ x1−x = 1
3
3
3
x 3 ↦ x 1 3− x 3
x 2 x ↦ x12 x1− x 2x
באופן כללי:
↦ a 0a 1 x1...a n x n
a 0a1 x1...a n x−1n−a0 a1 x...a n x n
T
3 ↦ 3−3=0שוב ,הפולינומים ממעלה 0נמצאים בגרעין של .T
} kerT ={ p x ∣ p x1= p x יהי
נציב :x=0
p 0= p1
p x ∈ kerTאז p x = p x 1
נציב :x=1
2
p 1= p 2
נציב :x=2
p 2= p 3
נציב :x=k
p k = p k 1
. p x −tנתבונן ב . q x = p x − p 0 -זה פולינום עם אינסוף שורשים.
כי
, q 0= p0− p 0=0
q 1= p 1− p 0=0
p k = p k − p x=0 … q 2= p 2− p 0=0
כלומר
כל
p k = p0=tלכל k
k ∈ℕהוא שורש של qולכן qהוא פולינום האפס.
מכאן נובע ש p <= p x − p 0=0 -הוא פולינום הקבוע שערכיו תמיד . p 0
כלומר pפולינום הע"ע ממעלה 0ולכן } kerT ={a 0 ∣ a0 ∈ℝ
ממשפט המימד נובע שמימד
ImT=n
T p x= p x1− px
x ↦ x12 −x 2= x 22x1−x 2=2x1
משהו ממעלה x3 ↦ x13− x3 =x 3...− x 3=2
2x
3 ↦ 2 x13−2x 3=23 x 3...−23 x 3
2
3
8x
המשך הפתרון:
נשים לב ,שהמקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום p x1שווה
למקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום . p x
ולכן חזרה זו מתבטלת בפולינום
T p x= p x1− p x
“פסודו הוכחה"
באופן יותר נורמלי אפשר לכתוב כך:
קל לראות שהתמונה של x iהוא פולינום ממעלה x−1
x1i−x i = ...
)למשל לפי הבינום של ניוטן(.
x 0 , ..., x n
ℝוראינו כי
בנוסף ,זהו בסיס לn [ x] -
ImT=Sp T x 1 , ... , T x n
אלו פולינומים ממעלה ≥ n−1ולכן
]ImT ⊆ ℝ n−1 [ x ] ⊂ ℝ n [ x
ומשוויון המימד יש שוויון כאן
3
חזרה על וקטור קואורדינטות
טענה:
יהי Vמ"ו ,והי v 1 ,... , v nבסיס סדור של .V
אז לכל וקטור v ∈Vיש כתיבה יחידה כצירוף לינארי של הבסיס.
הוכחה:
מכך שהבסיס פורש ,ישנם סקלרים a 1 , ... , a n
כך ש* v =a1 v 1...a n v n -
נניח ש ** v =b1 v 1...b n v n -ונראה ש. b 1=a1 , b2=a 2 , ... , bn =a n -
נחסר את * מ:**-
0 = v −v = b 1 v 1...b n v n−a 1 v 1...a n v n
= b1−a1 v 1...b n−an v n
מכיוון ש v 1 ,... , v n -בת"ל נקבל ש b i=ai=0 -לכל .i
}B={1,0 ,1,1
1,1
[ 17 ]=17 1,0 1,1
1,0
B=17,0 , =17 ,
יהי } E={1,0 , 0,1הבסיס הסטנדרטי:
יהי
[ 34 ]=3 e 4 e =3,4
1
2
} B={v 1 ,... , v nבסיס סדור לV-
אז וקטור הקואורדינטות לפי Bשל וקטור
v ∈Vמסומן ב[v ]b -
והוא ה-n-יה של המקדמים בצירוף לינארי לפי Bהמייצג את הוקטור .v
דוגמה:
ניקח בסיסים סדורים של : ℝ2
B= 1,2 ,3,4
D= 1,0 ,1,1
E= 1,0 ,0,1
ונמצא את וקטור הקואורדינטות לפי הבסיסים אלו של הוקטור . v =−1, 2
<= v = -1 1,0 2 0,1=−1, 2
][2
<= v = -3 1,0 2 1,1=−1, 2
[v ]D= −3
][2
<= v = 5 1,2 -2 3,4=−1, 2
] [−2
[v ]E= −1
5,10
3,4
[v ]B= 5
1,2
1,1
1,0
4
v =−1,2
1,1
2
−31,0
תרגיל:
.1
.2
פתרון ב:
)נדלג עליו( הוכח ש B={1 x , x x 2, x 2 x3, 2x3 } -בסיס ל. ℝ3 [ x ] -
[v ] Bכאשר B=32xx 23x 3
מצאו את
v = 32xx 22x 3
= 1 1 x 2 xx 23 x 2x 3 4 2x 3
1=3
2=−1
3=2
4=0
1=3
12 =2
2 3=1
32 4=2
][
3
[v ]B = −1
2
0
עוד דוגמאות⇐ E={1, x , x 2, x 3 } :
שאלה 6מהמבחן:
.1
} ℝ ∣ ab=cd =0
2
3
2
1
2
} ⇐ E '={x 3, x , x 2, 1
=[v ]E
∈ M
a b
c d
2
2
1
3
= ' [v ]E
{=u
הוכיחו ש v-מרחב לינארית.
}
0 0
1 −1
,
1 −1
0 0
{
}
=B
1 −1
1 −1
,
1 −1
−1 1
.2
מצא את וקטור הקואורדינטות של
.3
נדלג.
{
= Cבסיסים שלו.
−2
3
2
u= −3לפי Bולפי .C
פתרון:
.1
} { ,
0 0
1 −1
vמרחב לינארית עם בסיסים
b
d
ישנם שני נתאים על
a
c
1 −1
0 0
}
1 −1
1 −1
=B
ע”מ שהוא תהיה ב.u-
.1
ab=0ולכן
b=−a
.2
cd =0ולכן
d =−b
כלומר ברגע שקבענו את aו b ,c-ו d-נקבעים.
לכן מטריצה כללית ב u-היא מהצורה
נוכיח ש B-בסיס:
0 0
1 −1
,
1 −1
0 0
5
} ∣ a , c∈ℝ
בת”ל.
−a
−c
u= ac
,
1 −1
−1 1
{
=C
פירושים :תהי
∈u
a −a
c −c
כלשהי.
0 0
1 −1
c
1 −1
0 0
= a
a −a
c −c
עתה ע”מ להנמש Cבסיס ונשים לב שהוקטור ב C-בת”ל
ושהרגע הראנו שdimu=2 -
.2
מההגדרה נובע כי
] [
2
[u]B= −3כי
][
21
2
−1
2
= [u]Cכי
0
0
a
2 1 −1
3
0 0
1 −1
a2
3
6
1 −1
0
=a
[
[
1 0
2 −2
−3 3
2
1 −1
0 0
=a1
2
2 −2
−3 3
שיעור 17.03.10 – 4
תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה
)רמז :כבר עשינו אותם(
תרגיל:
, T :V W
תהיינה
הוכיחו כי
העתקות לינאריות.
S :W U
kerT ⊆ker S °T
הסבר:
פתרון:
} KerT ={x ∈V ∣ T x=0w
} kerS °T ={ x ∈V ∣ S °T x =0 v
יהי
ולכן
x ∈KerTאז
T x=0
S °T x =S T x=S 0=0
לכן x ∈Ker S °T
תרגיל:
תהיינה
S :W Uכך ש S ° T -זו העתקת האפס מ V-ל.U-
, T :V W
S
) התנאי האחרון לכיבורשם ש( S ° T =0 -
x ⟼ 0w
0 v
הראו שImT ⊆KerS -
פתרון:
יהי
x ∈ ImTאז קיים
y ∈Vכך שT y =x -
לכן S x =S T y=S °T y =0
לכן
תרגיל:
x ∈KerSמ.ש.ל.
יהי Vמ"ו ותהי
= T2
T :V Vכך ש T °T =0 -
הגדרה
הראו ש-
פתרון:
dimV
2
≥ dimKerT
על פי טענה קודמת ImT ⊆KerTולכן
ע"ע משפט המימד
נסמן
dimImT ≤dimKerT
dimImT dimKerT =dimV
n=dimVנרשום:
7
n=dimKerT dimImT ≤dimKerT dimKerT =2dimKerT
n
≤dimKerT
2
כמו שרצינו .מ.ש.ל.
זה "שקול"/דומה לתרגיל שעשינו בסמסטר הקודם:
Aמטריצה ריבועית
תרגיל:
תהיינה
n
. n×nאם A2 =0אז ≤dimNull A
2
S :V Vכך ש.* S T =0 -
, T :V V
. dimV =4
הראו ש2≥dimIm T ° S -
פתרון:
מספיק שנראה ש) dimKer T ° S ≥2 -בגלל משפט המימד(
. kerS ≤ker T °S לכן אם
אם dimKerS =1
אם
dimKerS =0
dimKerS ≥2אז סיימנו.
אז
dimImS =3
אז
dimImS =4
נטפל במקרה בו . dimKerS =0למדנו שזה שקול מכך ש S-חח"ע.
מכך ש S :V V -נובע שהיא גם על .לכן Sהפיכה.
נפעיל את
לכן גם
S−1על * ונקבל שT =0 ⇐ S −1 S °T =S −1 0 -
T ° S =0ולכן
dimIm T ° S ≥2
נניח ש . dimKerS ≤1 -ידוע לכן ש. S °T =0 -
ראינו שבמקרה זו ImT ⊆KerSולכן
טענת עזר:
תהיינה , T :V W
** dimImT ≤1
, S :W Uאז dimImS °T ≤dimImT
]ההוכחה כתרגיל[
המשך:
אם נשתמש בטענת עזר ,נקבל ש) 1≤dimImT ≤dimImT ° S -לפי **( וסיימנו.
8
הצגת העתקה ע"י מטיצה
.W- בסיס לC={w 1 ,... , w n } - וV- בסיס לB={v 1 ,... , v n }
, T :V W
[T v ]C =[T ]CB [V ]B [ ומקיימתT ]CB
למדנו שבהנתן
קיימת מטריצה סמסומנת
[T ]BC =[ [T v1 ]C [T v2 ]C . ..[T v3 ]C ] - למדנו ש,יתר עלכן
x , y ⟼ 5x y , x5y
T : R2 R 2
תהי
:דוגמה
. הבסיס הסטנדרטיE={e 1, e 2 }={1,0 ,0,1} יהי
A={1,1 , 1,−1}
B={1,1 , 0,1}
[T ]BB
, [T ] AA
A
[T v ] A=[T ]A [V ]A
[T ]EE =[ [T e1 ] E [T e2 ]E ]
] = 1
5
[T e1 ]= 5
1
[T e2
E
tr
, [T ]EE
כתבו את
- וודאו שv =1,2
יהי
: [T ]EE =e , e -נתחיל ב
1
2
<=
T e1 =T 1,0=5,1=5⋅e 11⋅e 2
<=
T e2 =1,5=1⋅e15⋅e 2
=10
5 1
1 5
, det
=24
5 1
1 5
[T ]AA=[ [T 1,1]A [T 1,−1]A ]
E
5 1
, [T ]E =
1 5
. [T ] AA -נעבור ל
T 1,1=6,6= 6 1,1 0 1,−1
[]
[T 1,1]A= 6
0
T 1,−1 = 5⋅1−1 , 15−1=4,−4
= 0 1,1 4 1,−1
[T 1,−1]A= 0
4
A
6 0
.[ שימו לב שזו מטריצה אלכסוניתT ] A=
0 4
tr 6 0 0 4=10
det 6 0 =24
0 4
B
[T ]B נשאיר לעצנו את
9
:תרגיל
:פתרון
T 1,2=T v =7,11
(I)
[T ]AA= 6 0
0 4
1,2 = a 1,1 b 1,−1
= ab , a−b = 1,2
2a=¿
נבדוק זאת ע"י
ראשית נבדוק מיהו
[V ]A
[V ] A=
[]
3
2
1
−
2
a=1 1
2a =3
2
1 1 b=1
2
b=−
לכן מיהו
[T v ] A
(II)
1
2
3
6 0 2
[T v ] A= 9 =
= [T ] AA [V ] A
−2
0 4 −1
2
- כלומר מכך ש,נבדוק שלא טעינו
[T v ] A= 9
−2
T v =91,1=21,−1=7,11V tick
[ [T 01 ]B [T 02 ]B ]
]= 4
−8
A= f 1 , f 2
= [T ]B = g , g
1
2
נבדוק
[T f1 ]B= 6
0
<=
T f1 =T 1,16,6= 6 1,1 0 0,1
[T
<=
T f2=T 1,−1= 4,−4= 4 1,1 -8 0,1
f2
4
0 −8
=−48
[T ]BA= 6 4
0 −8
tr 6 4 =−2
0 −8
10
det 6
תרגיל:
שאלה 2003 6מואד א'.
נניח כי
T :ℝ2 [ x ]ℝ2מוגדרת ע"י
T p x= p ' 0 p 0
p ' 0− p 0
א.
מצאו בסיס ל .ImT-מהו ?dimImT
ב.
מצאו בסיס ל .KerT-מהו ?dimKerT
ג.
האם Tחח"ע על?
ד.
2
מצא את המטריצה המייצגת את Tלפי הבסיסים הסטנדרטים ] ℝ ,ℝ 2 [ x
פתרון:
א.
מצאו בסיס ל .ImT-מהו ?dimImT
למדנו שאם
} { f 1, f 2, f 3בסיס ל ℝ2 [x ] -אז } ImT =Sp {T f1 , T f2 , t f3
יהי } { f 1 , f 2 , f 3הבסיס הסטנדרטי
2
f 1=1 f 2=x f 3 x
}{ } {
T x = 10 = 1
10
1
T 1= 01 = 1
0−1 −1
1 , 1
−1 1
קיבלנו
1 , 1 , 0
−1 1 0
= Sp
T 2x = 00 = 0
00
0
ImT =Sp
קל לראות שהם בת"ל ולכן הם בסיס לתמונה .ולכן המימד של ImT =2
ב.
מצאו בסיס ל .KerT-מהו ?dimKerT
ראינו ש dimKerT =1 -ומצאנו ש x 2 ∈ KerT -ולכן } { x 2בסיס ל.KerT-
ג.
האם Tחח"ע על?
הוא על ממה שהרגע ראינו.
ממשפט המימד נובע ש dimKerT =1 -ולכן הוא אינו חח"ע.
ד.
מצא את המטריצה המייצגת את Tלפי הבסיסים הסטנדרטים
2
] ℝ , ℝ2[ x
−1
1⟼ 1
מקודם:
1
x⟼ 1
ℝ2
[ T 1 ]¿ T x
¿
ℝ2
E
¿ = [ T ]E
2
ℝ
]ℝ2 [x
11
0
x2 ⟼ 0
ℝ2
ℝ2
[T 1]¿ 1
−1
[ ]
¿
1
−1
ובאופן סאוסן נקבל
¿
1 1 0
−1 1 0
E
[ T ]E = ¿
ℝ2 [x]
2
ℝ
−11 = 1 10 -1 01
12
שיעור ) 07.04.10 – 5אחרי פסח(
הערות מתרגיל 1
כדי להראות שהעתקה הוא לינארית:
.1משמרת חיבור:
T vw =T v T w
.2משמרת כפל בסקלר
T v = T v
.3
- T 0 =זה נובע מ 1-ו .2-לכן כדי להראות ש T-אינה לינארית
0
אפשר למשל להראות שוקטור האפס לא עובר לוקטור האפס.
שמחפשים מטריצה שמייצגת העתקה T x , y , z =3x , 4y8z , x y z
נזכור :אפשר לנחש
3x
= 4y8z
x y z
x
y
z
c
b
a
i
h
g
⇐ d e f
axby cz
dxey fz
...
3x
x
x y z
z
A y = 4y8z
ולכן
3 0 0
A= 0 4 8
1 1 1
אפשר להזכר שמטריצה שאנחנו מחפשים זו מטריצה הייצוג לפי הבסיס הסטנדרטי:
E
[T ]E
3 0 0
⋮ ⋮ ⋮
0 4 8 = Te 1 Te 2 Te 3
⋮ ⋮ ⋮
1 1 3
עוד משהו:
לא נכון
∣∣A±B∣=∣A∣±∣B
∣∣AB∣∣A∣∣B
הערות מתרגיל :2
נתונה העתקה לינארית ע"י כפל במטריצה .Aמקבשים למצוא את תמונת ההעתקה.
למדנו שזה בדיוק המרחב ).col(A
דוגמה:
⇐ T x , y , z =3x y , 4x8z
עמודה = Te1
הראשונה
יודעים ש:
עמודה =Te 2
השנייה
x
y
z
3 1 0
4 0 8
. . .
עמודה =Te 3
השלישית
ImT =spTe 1, Te2, Te 3=col A
כדי למצוא בסיס למרחב העמודות אפשר לדבר לפי שורות ובעמודות בהם מקבלים איבר פותח
עמודות המטריצה המקורית יהיו בסיס.
1
col A=sp 3 , 1
4 0
.kerS-מצאו בסיס ל
S 1,1,0=1,2
ולכן
3 1 0 R −4 R 3 1
2
3 1
0 −4
4 0 8
3
S 1,0,2=2,4
. עלS :ℝ3 ℝ 2
3=dim ℝ3=dimKerS dimIms
=dimKerS dimsetR2 - על נקבל שS-ממשפט המימד ומכך ש
=dimKerS 2
0
8
:6 שאלה
:פתרון
dimKerS =1 -ונקבל ש
( )נכון בלינאריות
0 =T v −T w =T v −w⇐ T v=T w
S 21,1,0=2S1,1,0
S 2,2,0=2,4
S 1,0,2=2,4 וגם נתון
מלינאריות
S 1,2,−2=S 2,2,0−1,0,2=S 2,2,0−S 1,0,2=2,4−2,4=0
ולכן
.kerS- בסיס ל1,2,−2
ולכן
ומגדיריםv 1 , v 2 , ... , v n∈V
n
T :ℝ V
נתונים
:5 שאלה
n
a1 ,... , a n ∑ ai v i =a 1 v 1...a n v n
i =1
3,5,8 3v 15v 28v 3
4 שאלה דוגמה לשאלות הליכסון בתרגול
W- בסיס לC={w 1 , ... , w n } - וV- בסיס לB={v 1 ,... , v n } - וT :V W
B
W
B
[T ]C [V ] B =[Tv ]C [ מקיימתT ]C =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C ]
בהנתן
אז המטריצה
.U- בסיס לD={u 1 , ... , u n } - וS :W V
אם
* [S ]CD °[T ]BC =[S °T ]BD
אז
2
:תזכורת
:בנוסף
תרגיל:
}v 1={1, 2, 3
יהיו
מצאו את
הקדמה:
} v 2 ={0, 1, 2
[ I ]BEו [ I ]EB -כאשר
} v 3={0, 0,1בסיס ל ℝ3 -שנמנו ב.B-
I :ℝ 3 ℝ3העתקת הזהות.
B
E
E
E
ראשית נזכר שמ *-נובע ש[ I ] E °[ I ] B=[ I ° I ]E =[ I ] E =I -
כלומר אלו מטריצות הופכיות זו לזו.
B
מכיוון ש ) [v ] E=V -ב ( ℝn -תמיד קל יותר למצוא את [ I ]E
כלומר ,כאשר Eהוא הבסיס של הטווח ,יותר קל למצוא את המטריצה המייצגת
נפתור:
] [
1 00
B
[ I ]E = 2 1 0כי
321
עתה כדי למצוא את
1
… [1,2,3]E = 2
3
B
E
[ I ]Bאפשר למצוא את המטריצה [ I ]E
או לחילופין למצוא אותה מההגדרה.
נמצא מההגדרה:
] [ I ] EB =[[e 1 ]B [e 2 ]B [e 3 ]B
0,0,1=e 3=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1
=<
0,1,0=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1
=<
1,0,0=a 1,2,3b0,1,2c 0,0,1
=<
0
[e3 ]B = 0
1
0
[e 2 ]B = 1
−2
ולכן
0 0
1 0
−2 1
1
1
[e1 ]B = −2
1
[ I ]EB =[ [e 1 ]B [e 2 ] B [e 3 ]B ]= −2
1
כדאי לבדוק ע"י הפל שאכן הן הופכיות.
נעשה תרגיל דומה ונדבר )על-הדרך( על ליכסון.
מטרה :נתונה
0 0 −2
1
1 0 3
A= 1 2ואנחנו רוצים למצוא מטריצה שדומה ל A -שהיא גם אלכסונית.
לתהליך זה קוראים ליכסון של .Aאם מצליחים אומרים ש A-לכסינה.
כלומר ,מחפשים מטריצה הפיכה Pכך שהמטריצה P−1 A Pמטריצה אלכסונית.
a 0 0
P−1 A P= 0 b 0
0 0 c
3
איך נעשה זאת?
תהי Tההעתקה ש A-מגדירה . T : ℝ3 ℝ 3
x
x
y A y
z
z
מי זו ? [T ]EEנשים לב שזו פשוט .A
] [T ]EE =[ [Te1 ]E ...
[ ]
1
0
Te1 =A 0 = 1
0
1
0
[Te 1 ]E= 1
1
0
=1
1
E
A
נשים לב שאם } C={v 1 , v 2 , v 3
[T ]CC = [ I ]CE [T
בסיס אחר של ℝ3אז מתקיים ] EE [ I ]CE
=[T °I ]CE =[T ]CE
C
C
E
[ I ]C [T ]E =[T ]C
[ I ]CE [T ]EE [ I ]CE =[T ]CCכאשר ) (T=Aונרצה ש [T ]CC -תהייה אלכסונית.
[T ]CCאלכסונית כאשר וקטורי C
הם וקטורים עצמיים של העתקה Tכלומר וקטורים עצמיית של .A
נמצא בסיס Cהמורכב מוקטורים עצמיים של :A
עלינו למצוא את הערכים העצמיים:
∣
2 = x−22 x−1
x−2
∣
2
x
−1 = x −2
−1
x−3
∣
0
x−2
0
∣
x
det xI− A= −1
−1
לכל ערך עצמי ,נמצא וקטורים עצמיים:
עבור x=2זה מרחב האפס של
2 0 2
1 0 1
0 0 0דירוג −1 0 −1
−1 0 −1
0 0 0
ובסיס למרחב האפס הוא v 2 =0,1,0 , v 1=−1,0,1
4
נבדוק:
][
−1
0 0 −2 −1
−2
−1
A 0 =1 2 1
=
=2
0
0
0
1
9 0 3
1
2
1
−2
v 3= 1
1
עבור x=1נקבל את הוקטור
כוקטור עצמי )אפשר לוודא(.
קיבלנו שיש 3וקטורים עצמיים וע"פ משפט הנלמד ,הם בהכרח מהוים בסיס
)אפשר לבדוק ישירות( .נסמן בסיס זה בC={v 1 , v 2 , v n } -
נבדוק מה . [T ]CC =
לפי ההגדרה
[ ] [ ] [ ]
C
⋮
Tv 3
⋮
C
⋮
Tv 2
⋮
C
⋮
Tv 1
⋮
C
C
= ] [T
0 0 −2
A= 1 2 1
1 0 3
0 0 −2 −1
−2
Tv 1= 1 2 1
= 0
0
1 0 3
2חשוב 1
−2
−1
0 −2
0 = Tv 1 = av 1bv 2cv 3 = a 0 b 1 c 1
2
2
1 0 0 0 1
0
0
Tv 2=T 1 = 2
0
0
Tv 2=0v 12 v 20 v 3
0
[T v2 ]C = 2
0
−2
−2
Tv 3=T 1 = 1
1
1
Tv 3=0v 10v 21v 3
0
[Tv 3 ]C = 0
1
5
ולכן
[ ] [ ] [ ]
2 0 0
= 0 2 0
0 0 1
C
⋮
Tv 3
⋮
C
⋮
Tv 2
⋮
C
⋮
Tv 1
⋮
C
C
= ] [T
יודעים ש[T ]CC = [ I ]CE [T ]EE [ I ]EC = [I ]CE A[ I ]EC -
ולחשב את [ I ]CEזה קל:
−1 0 −2
[
I ]CE = 0 1 1
1 0 1
P
סה"כ מצאנו Pש
P−1 A Pמטריצה אלכסונית
לזה קוראים לכסין של .A
6
שיעור 14.04.10 – 6
ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים ולכסון
תזכורת:
v ≠0 , T :V Vונקרא ו"ע אם . Tv= v
Aמטריצה ריבועית.
תרגיל:
פתרון:
v ≠0נקרא ו"ע אם
נקרא הע"ע של .v
. Av= vנקרא הע"ע של .v
הראו ש A-לא הפיכה אם"ם 0ערך עצמי של .A
קיים
Av=0⋅v=אם"ם קיים פתרון לא טריביאלי למע'
v ≠0כך ש0 -
ההומוגנית ש A-מגדירה ,כלומר } nw A≠{0אם"ם Aלא הפיכה.
הערה:
זה לא אומר כלום לגבי לכסון.
0 0 0
0 1 0
0 0 1
למשל ,מטריצת האפס הוא אחלה מטריצה אלכסונית ,וגם
1
n
תרגיל:
פתרון:
קיים v ≠0כך ש. Tv= v -
פעמים n
n
T v=T
°T °...T =T °T °... T
v =...=
פעמים n−1
v
0
T =T
nע"ע של °... °T °T
אם ע"ע של העתקה Tאז
nv
,
k 1
k
פעמים n
k
k
= T v
T v= ⋅⋅v=
לינאריות
תרגיל:
תהי
T :V Vויהי
∈ℝכלשהו .הראו שv 2 :={v∈V ∣ Tv = v } -
הוא תת מרחב של .Vתת-מרחב זה נקרא המרחב העצמי של .
פתרון:
זהו הגרעין של ההעתקה I d −T
מדוע? אם
תזכורת:
] [ Tv− v=0 ⇒ T − I v=0
Tv= v ⇔ −T v = I d v −T v = I d −T v=0
אם Tו S-העתקה לינארית
T , S :V Wאז
T S v :=T vS v
T −S v :=T v−S v
ואלו העתקות לינאריות.
I d −T v
1
פתרון אחר:
בוחן לתת מרחב.
T
0 =
0
T vw =T v T w= v w=2 vw
השלימו את הערטים...
שלוש דוגמאות ללכסון
דוגמה :1
פתרון:
ואז לכל ערך עצמי למצוא ו"ע התאים לא.
0 0 4
כדי למצוא ע"ע ← הפולינום האופייני.
= x−32 x−4
הערה:
נרצה למצוא את הערכים העצמיים של A
3 2 0
A= 0 3 0
∣
0
0
x−4
∣
x−3
−2
x−3
= ∣∣x I − A
=<
3בריבוי x 1=2
4בריבוי x 2 =1
שימו לב שבמטריצה משולשית הע"ע מופיעים על האלכסון.
נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי .4
בעצם מה שנרצה לעשות ,זה למצוא בסיס ל.4-
ℝ3 4 = {v∈ℝ3 ∣ Av=4v } = nul 4I− A
1 −2 0
1 0
0 0 0
= 0
4−3 −2
0
0
4−3
0
0
0
4−4
0
nul =sp 0
1
עבור
x=3נחשב את nul 3I− A=ℝ3 3
1
= sp 0
0
0 −2 0
0
0
0 0 −1
nul 0
שימו לב שהתקבל מרחב ממיצד 1למרות הערך העצמי 3הוא בריבוי 2
נזכר שע"מ ללכסון את Aעלינו למצוא בסיס של ו"ע של .A
שימו לב שלא ניתן למצוא כזה בסיס .מדוע? ראינו שו"ע חייבת להיות או ב-
v3
או ב . v 4 -אבל
= V 3V 4≠ℝ 3
2
}{
1
0
0
1
Sp 0 , 0
לכן לא ניתן למצוא בסיס של וקטורים עצמיים.
דוגמה :2
A= 1 1
∣ xI − A∣= x−12
0 1
יש ע"ע יחיד והוא שווה ל ,1-מופיע בריבוי .2
אפשר ללכסן את Aאם"ם קיים בסיס ל ℝ2 -המורכב מו"ע של .A
כל הוקטורים העצמיים יחיו במרחב העצמי של :1
2
ℝ 1=nul 1 I − A=nul 0 −1
0
0
= sp
1
0
0 −1
0 0
= ⇒ nul
x
y
0 −1 x
0 0 y
3,0 , 4,0 ,− 2, 0 ,−e ,0
אין בסיס ל ℝ2 -המורכב מוקטורים עצמיים!!!
לכן לא ניתן ללכסן!
שימו לב ,שהריבוי של 1הוא 2
ומימד המרחב העצמי של 1הוא קטן לא שווה מ.2-
דוגמה :2
1
0
4
0
0
5
A= −1 −6 −2
למצוא ע"ע ,כלומר שורשי הפולינום האופייני:
∣
x−4 −1
]= x6[ x−4 x−5
−5
x
x 1,2,3 = −6, 5, −1
∣
= x6
∣
∣
x− 4
0
−1
1
x−6
2
−5
0
x−0
= ∣∣ xI − A
= x6 x 2−4x−5 = x6 x−5 x 1
נתחיל ב: x=−6 -
0
⊇ Sp 1
0
−10 0 −1
1
0 2
−5 0 −6
nul
מוודאים ע"י דירוג שקודם יש שוויון.
: x=5
1
−3
11
דירוג
= nul5I− A = Sp
1
3
} {t ,− 3 , t ∣ t∈ℝ
11
=
1
0 −1
1 11 2
−5 0
5
nul
nul
. P−1
−5 0 −1
1 5 2
−5 0 −1
−1
−5
5
= Sp − 9 = Sp −9
25
: x=1
25
1
ולמצוא את, אלכסוניתP−1 A P - כך שP נרמה לרשום את
[T A]B
.P מי תהיה
[T A ]E
−6 0 0
0 5 0
0 0 1
=P −1 A P
B={ 0,1,0
, 1,− 3 ,1 , − 1 ,− 9 , 1 }
11
5
25
v1
v2
v3
E
B
[T A]B =[ I ]B [T A ] E [I ] E
0
−1
1
5
[ I ]BE = [v 1 ]E [v 2 ] E [ v3 ]E = 1 − 3 − 9
11
25
0
1
−5
P−1 =
1
0
6
−4
55
−5
6
1
0
5
6
19
35
1
6
adj (2 ( אוP|I) ( דירוג1 ....הרבה עבודה
ולה יש ע"ע שונים זה מזהn×n זו דוגמה כל כך שאם יש מטריצה
:הערה
. כלומר זה לא אם ורק אם, זהו תנאי מספיק! ולא הכרחי.אז הוא לכסינה
∣
0 1 1
A= 1 0 1
1 1 0
∣
∣ ∣
x
−1 −1
x −1
−1 −1 x
∣xI − A∣ = −1
∣
0
= 1x x−1
−1
∣
−1
0
x −1− x
−1 x1
=
c 3−c 2 c3
x −1
0
−1 x −1− x
−1 −1 x1
∣
∣ ∣
0
−1
0
2
−1 x
x −1− x
x1
c 1 xc 2 c 1 −1 x −1
=
∣
= 1x x−1 −1 x = 1x [
x 2−1−1 x ]
−1
x1
2
x − x−2
= 1x x−2 x1
.2 בריבויx=−1
.1 בריבויx=2
4
:3 דוגמה
: x=−1
1 1 1
−s−t , t , s
0 0 0
מסקנה:
−1 −1 −1
= nul −1 −1 −1
nul 0 0 0
דירוג
−1 −1 −1
ℝ3 −1 = Sp −1,0,1
−1,1,0
1
ℝ 32 = 1
1
2
−1 −1
2 −1
−1 −1 2
nul 2I−A = −1
} V :={v∈V ∣ Tv = v
נבחר
} B={1,1,1 , −1,1,0 , −1,0,1
0 1 1 1 −1 −1
1
0
1 1 0 1 0
1
1 0 1 1ההופכית =
2 0 0
0 −1 0
0 0 1
"אלגוריתם" ללכסון
Aמטריצה
(1
k
. n×n
מוציאים פולינום אופיינו וערכים עצמיים.
P A= x−x 1 r ... x− x k r
1
x 2=2
x12 x−2
(2
מוציאים את
אם לכל
r 1...r k =n
i
V xלכל
x 1=1
x 1 , ... , x kשורשים שונים
r 2=2
r 2=1
xi
r i=dimV xניתן ללכסן האחיד הבסיסים ש
i
אם לא אז אי אפשר.
5
i
V xבסיס מלאכן.
אינדקס
מ
מרחב העצמי1..........................................
ל
לכסינה3.................................................
6
© Copyright 2025