‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב‬ ‫באר שבע ‪84105‬‬ ‫‪BEN-GURION UNIVERSITY OF THE NEGEV‬‬ ‫‪BE’ER SHEVA 84105, ISRAEL‬‬ ‫שאלות נוספות‬ ‫‪ (1‬העתקות שומרות אורך שומרות זוית‬ ‫• הראו כי לכל שני וקטורים בממ"פ ממשי ‪ V‬מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫])‪(u, v) = [(u + v, u + v) − (u − v, u − v‬‬ ‫‪4‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫כיתבו נוסחה דומה עבור וקטורים במרחב מכפלה פנימית מרוכב‪.‬‬ ‫הראו כי אם עבור מטריצה )‪ A ∈ Mn (R‬מתקיים ‪ (Au, v)st = 0‬לכל ‪ u, v ∈ R‬אזי‬ ‫‪A=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הראו כי אם )‪ A, B ∈ Mn (R‬מקיימות )‪ (Au, v) = (Bu, v‬לכל ‪ u, v ∈ R‬אזי ‪A = B‬‬ ‫האם השויון )‪ (Av, v) = (Bv, v‬לכל ‪ v ∈ Rn‬גורר ‪A = B‬‬ ‫נסחו גרסה מרוכבת של הסעיף הקודם‪.‬‬ ‫הראו כי אם ‪ T : V → V‬היא ט"ל ששומרת אורכים כלומר )‪ (T v, T v) = (v, v‬לכל‬ ‫‪ v ∈ V‬אזי ‪ T‬שומרת את המכפלה הפנימית כלומר )‪ (T u, T v) = (u, v‬לכל ‪u, v ∈ V‬‬ ‫ובפרט ‪ T‬שומרת זויות‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (2‬ע"ע של אופרטור הצמוד לאופרטור נורמלי‬ ‫• הראו כי אם ‪ T : V → V‬נורמלי כלומר ∗ ‪ T ∗ T = T T‬אזי ||)‪ ||T (v)|| = ||T ∗ (v‬לכל‬ ‫‪ v ∈ V‬ובפרט ‪Ker(T ) = Ker(T ∗ ).‬‬ ‫• הראו כי אם ‪ T‬נורמלי אזי ‪ T − aIV‬נורמלי‪.‬‬ ‫‪ a‬הוא ערך עצמי של ∗ ‪T‬‬ ‫• הסיקו כי אם ‪ a ∈ C‬ערך עצמי של ‪ T‬נורמלי אזי ‪¯ ∈ C‬‬ ‫‪ (3‬נתונה ‪ T : V → T‬המקיימת ‪ .T 2 = T‬הראו כי ‪ T‬לכסינה‪.‬‬ ‫• הראו כי וקטור נמצא בתמונה של ‪ T‬אם ורק אם ‪ T‬שולחת אותו לעצמו‪ .‬כלומר הראו‬ ‫כי ) ‪Ker(I − T ) = Im(T‬‬ ‫• הראו כי }‪Ker(T ) ∩ Im(T ) = {0‬‬ ‫• העזרו במשפט המימד כדי להראות שיש מספיק וקטורים עצמיים‪.‬‬ ‫• מצאו את הערכים העצמיים ואת הצורה האלכסונית‪.‬‬ ‫• באיזה תנאים אפשר להבטיח בסיס אורתונורמלי ‪ B‬עבור ‪ V‬כך ש ‪ T‬תיוצג כמטריצה‬ ‫אלכסונית בבסיס ‪ B‬הראו כי אם בסיס כזה קיים אז קיים תת מרחב ‪ W ⊂ V‬כך ש‬ ‫‪ T = PW‬ההטל האורתוגונלי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (4‬נתונה מטריצה ‪ A‬וידוע כי שורותיה מהווים בסיס אורתונורמלי עבור ‪ Rn‬עם המכפלה‬ ‫הסטנדרטית‪ .‬הראו כי גם עמודות ‪ A‬מהוות בסיס אורתונורמלי‪.‬‬ ‫‪ (5‬גרעיו ותמונה של אופרטורים צמודים‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫הראו כי ‪ (T ∗ )∗ = T‬עבור ‪ T : V → V‬בממ"פ ‪.V‬‬ ‫הראו כי ‪ Ker(T ∗ ) = Im(T )+‬וכי ‪Im(T ) = Ker(T )+‬‬ ‫הסיקו כי ) ∗ ‪ rank(T ) = rank(T‬זה נותן הוכחה חדשה לכך שדרגת השורות שווה‬ ‫לדרגת העמודות‪.‬‬ ‫הראו כי אם ∗ ‪ T = T‬אזי ) ‪ Ker(T‬ניצב ל ) ‪Im(T‬‬ ‫∗‬ ‫‪ (6‬הרחבה על שאלה ‪ 3‬מדף מספר ‪ .12‬נתון ‪ W ⊂ Rm‬ונתון וקטור ‪b ∈ Rm‬‬ ‫• הראו כי הוקטור ‪ w ∈ W‬הקרוב ביותר לוקטור ‪ b ∈ Rm‬מקיים )‪ w = PW (b‬כלומר‬ ‫הראו כי לכל ‪ w ∈ W‬מתקיים‬ ‫||‪||w − b|| ≥ ||PW (b) − b‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫נתון וקטור ‪ b ∈ Rm‬ומטריצה ‪ .Am×n‬הראו כי למשוואה ‪ Ax = b‬יש פתרון אם ורק‬ ‫אם } ‪ b ∈ W = Span{a1 , ..., an‬כאשר ‪ a1 , ..., an‬הם וקטורי העמודה של ‪A‬‬ ‫נניח כי למערכת ‪ Ax = b‬אין פתרון ונגדיר } ‪ W = Span{a1 , ..., an‬מרחב השורות של‬ ‫‪ A‬הציעו דרך למצוא את הוקטור ‪ x‬שעבורו הטעות ||‪ ||Ax − b‬קטנה ביותר‪ .‬הדרכה‪:‬‬ ‫העזרו בסעיף הקודם כדי להסיק שהוקטור ‪ b1 = PW (b) ∈ Rm‬הוא הקומבינציה‬ ‫הלינארית של עמודות ‪ A‬שקרובה ביותר לוקטור ‪ b‬ומכאן הסיקו שיש למצוא ‪ x‬עבורו‬ ‫)‪Ax = PW (b‬‬ ‫הראו כי הפתרון ‪ x‬של המשוואה ‪ At Ax = At b‬מקיים את הנדרש בסעיף הקודם‪.‬‬ ‫הסיקו כי אפשר למצוא פתרון מקורב ל ‪ Ax = b‬על ידי הכפלה פורמלית ב ‪ At‬ופתרון‬ ‫המערכת הריבועית ‪ .At Ax = At b‬בצעו זאת עבור המערכת בשאלה ‪ 3‬מדף ‪.12‬‬ ‫‪ (7‬מצאו תנאים שעבורם קיים ‪ T : V → V‬המקיים ‪ T (v1 ) = w1 , ..., T (vk ) = wk‬כאשר‬ ‫‪ v1 , ..., vk‬קבוצה אורתונורמלית‪ .‬דונו במקרים הבאים‪:‬‬ ‫• ‪ T‬אופרטור לינארי כלשהוא‬ ‫• ‪ T‬אופרטור אוניטרי‬ ‫• ‪ T‬אופרטור צמוד לעצמו הדרכה‪ :‬אופרטור אוניטרי שומר אורכים‪ ,‬אופרטור צמוד לעצמו‬ ‫הוא בעל יצוג כמטריצה הרמיטית בבסיס אורתונורמלי‪.‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪n‬‬ ‫• תהי ‪ (, )st‬המכפלה הפנימית הסטדנטרטית על ‪.R‬‬ ‫‪xi yi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪(x, y)st‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הראו כי עבור מטריצה )‪ A ∈ Mn (R‬מתקיים‬ ‫‪(Au, v)st = (u, At v)st‬‬ ‫ודונו בגרסה המרוכבת‪.‬‬ ‫• עבור מטריצה סמיטרית )‪ A ∈ Mn (R‬מגדירים ‪ QA (v, u) = (Av, u)st‬הראו כי זו‬ ‫מכפלה פנימית על ‪ Rn‬אם ורק אם כל הערכים העצמיים של ‪ A‬הם חיוביים‪ .‬הדרכה‪:‬‬ ‫זיכרו כי ‪ A‬לכסינה עם ערכים עצמיים ממשיים‪ .‬בכיוון אחד כיתבו‬ ‫‪A = P DP −1 = P DP t‬‬ ‫עבור מטריצה אורתוגונלית ‪ P‬וודאו כי‬ ‫)‪QA (v, v) = (Av, v) = (P DP t v, v) = (DP t v, P t v‬‬ ‫כעת בצעו הצבה ‪ w = P t v‬והשתמשו בעובדה שהערכים העצמיים של ‪ D‬חיוביים‪.‬‬ ‫הכיוון השני דומה‪.‬‬ ‫• קיבעו מי מהמטריצות הבאות הן חיוביות‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 −1 1 −1‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪.A‬‬ ‫‪; B = 2 4 5 ; C = ‬‬ ‫; ‪1 1 −1 −1‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪3 5 6‬‬ ‫‪1 −1 −1 1‬‬ ‫• קיבעו את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של מטריצה ‪ C‬מהסעיף הקודם‪ .‬בפרט‬ ‫קבעו את הפולינום האופייני שלה‪.‬‬