‫מבנים אלגבריים ‪80446 II‬‬ ‫אור דגמי‪or@digmi.org ,‬‬ ‫‪ 27‬במרץ ‪2012‬‬ ‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬ ‫סיכום הרצאות של פרופ׳ אלכס לובוצקי בשנת לימודים ‪2012‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שדות‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫תזכורת מהעבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מרחבים וקטורים מעל שדות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫איבר אלגברי ופולינום מינימלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫שדה סגור אלגברית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫שדות סופיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.5.1‬שורשים מרובים של פולינום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫‪ 2.1‬לרבע את המעגל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫פריקות של פולינומים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫קריטריון אייזנשטיין )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Eisenstein‬‬ ‫‪2.2.1‬‬ ‫השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פרק ‪1‬‬ ‫שדות‬ ‫‪ 1.1‬תזכורת מהעבר‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.1‬שדה‪(F, +, ·, 0, 1) :‬‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫‪ (F, +, 0) .1‬־ חבורה אבלית‬ ‫‪ (F\ {0} , ·, 1) .2‬־ חבורה אבלית‬ ‫הערה ‪ 1.1.2‬מכאן מסיקים שאין שדה עם איבר אחד‪ ,‬כי הוצאנו את האפס ועדיין נשארה יחידה‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪∀a, b, c ∈ F, a · (b + c) = a · b + a · c‬‬ ‫מה זה חבורה? אפשר לקרוא במבנים אלגבריים ‪ .1‬אבל בגדול‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.3‬חבורה‪:‬‬ ‫• מוגדרת פעולה‪.‬‬ ‫• הפעולה היא אסוציאטיבית‪a (bc) = (ab) c :‬‬ ‫• קיים הופכי‪∃a−1 , a · a−1 = 1 :‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬חבורה נקראת אבילת אם‪ab = bc :‬‬ ‫‪∀a,‬‬ ‫אנו מכירים הרבה דוגמאות לשדות‪ ,‬נצפה במספר דוגמאות‪:‬‬ ‫דוגמה ‪ ,Q 1.1.4‬ראינו כבר כי זה שדה עוד באלגברה לינארית ‪.1‬‬ ‫[‬ ‫‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫דוגמה ‪) Q (i) = a + b −1 | a, b ∈ Q 1.1.5‬כאשר ‪(i = −1‬‬ ‫נבחין כי ‪ Q (i) ⊆ C‬לכן הפעולות אסוציאטיביות וקומוטטיביות‪ .‬נרצה להראות סגירות לכפל וכי קיים הופכי‪ .‬נבחין כי‪:‬‬ ‫ √‬ ‫√‬ ‫ √‬ ‫‪a + b −1 c + d −1 = (ac − bd) + (ad + bc) −1‬‬ ‫ומסגירות ‪ Q‬לכפל וחיבור נקבל כי אכן המקדמים הם ב‪.Q‬‬ ‫נראה הופכי‪:‬‬ ‫בהנתן ‪ .a, b‬אנו מחפשים ‪ c, d‬כך ש‪:‬‬ ‫‪ac − bd = 1‬‬ ‫‪bc + ad = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫נסמן ‪d = y‬‬ ‫‪ .1.1‬תזכורת מהעבר‬ ‫‪ c = x,‬ונרצה לפתור מערכת משוואת‪:‬‬ ‫‪ax − −by = 1‬‬ ‫‪bx + ay = 0‬‬ ‫(‬ ‫נבחן את המערכת באופן מטריציוני‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫נבחין כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪= a2 + b 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪det‬‬ ‫‪b‬‬ ‫כלומר‪ ,‬אם ‪ a 6= 0‬או ‪ b 6= 0‬המטריצה הפיכה ולכן קיימים ‪ x, y‬אשר יהיו ההופכי‪.‬‬ ‫דרך יותר קלה לראות זאת היא לזכור כי‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z·z‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kzk‬‬ ‫= ‪z −1‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪a − bi‬‬ ‫‪a2 + b 2‬‬ ‫= ‪(a + bi)−1‬‬ ‫אבל בכך אנחנו מניחים ששדה המרוכבים קיים‪.‬‬ ‫הערה ‪ 1.1.6‬נבחין כי זה לא נכון באופן כללי‪ a + bi .‬כאשר ‪ a, b ∈ F‬שדה כלשהו לא בהכרח שדה‪.‬‬ ‫כדי שזה כן יהיה נדרש כי ‪ a2 + b2 6= 0‬עבור ‪ a 6= 0‬או ‪ ,b 6= 0‬אבל זה לא קורה תמיד‪ .‬לדוגמה מעל ‪.C‬‬ ‫דוגמה ‪ Q ⊆ R ⊆ C 1.1.7‬וכמו כן ‪.Fp = Z/pZ‬‬ ‫דוגמה ‪ F 1.1.8‬שדה כלשהו‪ .‬ראינו כי ]‪ F [x‬הוא חוג הפולינומים מעל ‪.F‬‬ ‫)‪ = F (x‬שדה המנות של ]‪ F [x‬כלומר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫]‪f (x) , g (x) ∈ F [X‬‬ ‫|‬ ‫= )‪F (x‬‬ ‫)‪ g (x‬לא פולינום ה־‪0‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫שדה זה נקרא שדה הפונקציות הרציונליות מעל ‪ F‬ואם עושים את זה פעם אין שום סיבה לא לעשות את זה פעמיים‪ .‬כלומר‬ ‫)‪ (F (x)) (y‬כלומר‪ ,‬פונצקיות רציונליות ב ‪ y‬שהמקדמים שלהם פונקציות רציונליות ב ‪ .x‬נסמן‪:‬‬ ‫)‪F (x, y) := (F (x)) (y‬‬ ‫למעשה מדובר בפונקציות עם שני משתנים ‪.x, y‬‬ ‫ובאינדוקציה ניתן לדבר על‪:‬‬ ‫) ‪F (x1 , . . . , xn ) := (F (x1 , . . . , xn−1 )) (xn‬‬ ‫דוגמה ‪ 1.1.9‬שדה המספרים הפיאדים‪:‬‬ ‫לוקחים את המספרים הרציונליים‪ .‬מתבוננים בסדרות קושי מעל ‪ ,Q‬לא בהכרח קיים להם גבול )אנחנו לא מכירים את המספרים‬ ‫האי רציונליים( נגיד כי שתי מחלקות קושי הם שקולות אם הן שואפות לאותו איבר‪ .‬כלומר אם היה להם גבול הן היו מתכנות לאותו‬ ‫גבול‪ .‬לוקחים את את הסדרות קושי הנ״ל ולהם קוראים ‪.R‬‬ ‫נבחין כי על המספרים הרציונליים אנחנו לא צריכים לדעת דבר פרט לכך שהם מרחב מרחב מטרי‪ .‬אבל אפשר להגדיר מרחב מטרי‬ ‫נוסף על הרציונליים‪ .‬לכל ראשוני ‪ p‬אפשר להגדיר מטריקה על המספרים הרציונליים‪ .‬ואיכשהו לקבל שדה )לא הצלחתי לעקוב כמו‬ ‫שצריך(‪ ,‬המספרים הפיאדים‪ ,‬כך ש ‪ Q‬יהיה צפוף בו‪.‬‬ ‫זה נשמע כאילו אפשר לעשות את זה בדרכים נוספות‪ ,‬אך זה לא עובד‪ .‬יש משפט שאומר שזה ההגבלה‪ .‬אם יהיה זמן נגיע לזה‬ ‫בהמשך‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .1.2‬מרחבים וקטורים מעל שדות‬ ‫‪1.2‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫מרחבים וקטורים מעל שדות‬ ‫חלק גדול מהדוגמאות שראינו הופיעו בזוגות‪ ,‬כלומר שדה אחד הוא תת שדה של השדה השני‪.‬‬ ‫ולכן אם ‪ F ⊂ E‬שדות אזי אפשר לראות את ‪ E‬כמרחב וקטורי מעל ‪ .F‬במובן שאם ‪ R ∈ F‬ו ‪ α ∈ E‬אזי‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪Rα‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫מכלפה בשדה ‪E‬‬ ‫נסמן )‪.degF E = [E : F] = dimF (E‬‬ ‫טענה ‪1.2.1‬‬ ‫‪Rα‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫מכפלת סקלר ‪R‬בוקטור ‪α‬‬ ‫‪ F ⊆ E ⊆ K‬שדות‪ .‬אזי‪) [K : F] = [K : E] · [E : F] :‬כלומר המימד של ‪ K‬מעל ‪ F‬שווה למימד של ‪ K‬מעל ‪ E‬כפול המימד של ‪E‬‬ ‫מעל ‪.(F‬‬ ‫הערה ‪ 1.2.2‬לא הנחנו שהם סופיים‪ .‬נבחן אם ‪ E‬אינסופי‪ ,‬אז ברור כי גם ‪ K‬אינסופי‪ .‬ולכן אם אז גם ∞ = ]‪ .[K : F‬כמו כן אם ‪K‬‬ ‫מעל ‪ E‬אינסופי‪ ,‬אז יש אינסוף איברים בלתי תלויים מעל ‪ E‬ובפרט מעל ‪.F‬‬ ‫נניח בהוכחה כי זה סופי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ [K : E] = m ,[E : F] = n‬נוכיח כי‪.[K : F] = mn :‬‬ ‫יהי ‪ α1 , . . . , αn ∈ E‬המהוים בסיס מעל ‪ .F‬ויהיו ‪ β1 , . . . , βm ∈ K‬מהוים בסיס ל ‪ K‬מעל ‪ .E‬נראה כי‬ ‫בסיס ל ‪ K‬מעל ‪.F‬‬ ‫נראה כי זו קבוצה בלתי תלוייה‪:‬‬ ‫נניח ש‪:‬‬ ‫‪ai,j αi βj = 0‬‬ ‫‬ ‫‪1≤i≤n‬‬ ‫‪1≤j≤m‬‬ ‫| ‪αi , βj‬‬ ‫‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1 j=1‬‬ ‫כאשר ‪ . ai,j ∈ F‬נרצה להראות ש ‪ αi,j = 0‬לכל ‪ i‬ו‪.j‬‬ ‫נכתוב את הנ״ל בצורה הבאה‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪ai,j αi‬‬ ‫‪βj‬‬ ‫אבל נבחין כי האיבר ‪ai,j αi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫}‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪αi,j αi βj‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪n X‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1 j=1‬‬ ‫|‬ ‫הוא ב ‪ . E‬אבל מאחר ו ‪ β1 , . . . , βm‬בת״ל מעל ‪ ,E‬אזי לכל ‪ j‬נקבל כי‪ai,j αi = 0 :‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .‬כעת ה‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ αi‬הם ב ‪ E‬וה ‪ ai,j‬הם ב ‪ ,F‬ומכיוון ש ‪ α1 , . . . , αn‬הם בלתי תלויים לינארית מעל ‪ F‬לכן ‪ αi,j = 0‬לכל ‪ i‬ולכל ‪ .j‬כלומר מדובר‬ ‫בקבוצה בלתי תלויה‪.‬‬ ‫הערה ‪ 1.2.3‬נבחין כי בהוכחה של האי תלות השתמשנו רק באי תלות של הקבוצה ולא בכך שהיא בסיס‪ .‬כלומר מכפלה של כל שתי‬ ‫קבוצות בלתי תלויות באופן הנ״ל הייתה מניבה קבוצה בלתי תלויה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪1≤i≤n‬‬ ‫‪1≤j≤m‬‬ ‫| ‪αi βj‬‬ ‫‬ ‫קבוצה פורשת כי אם ‪ γ ∈ K‬אזי קיימים ‪ e1 , . . . , em ∈ E‬כך ש ‪ej βj = γ‬‬ ‫ועכשיו את ‪ ej‬אנו יכולים לרשום כצירוף לינארי מעל ‪ F‬של ‪ α1 , . . . , αn‬כי היא בסיס ולכן‪:‬‬ ‫‪ai,j αi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ej‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫עבור ‪ ai,j ∈ F‬כלשהו‪ .‬ובסה״כ קיבלנו כי‪:‬‬ ‫‪ai,j αi βj‬‬ ‫‪m X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪j=1 i=1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪γ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫מהיות ‪ β1 , . . . , βm‬בסיס‪.‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬ ‫איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.1‬אם ‪ F ⊂ E‬שדות‪ ,‬ו ‪ α ∈ E‬נסמן‪ = F (α) :‬תת השדה המינימלי של ‪ E‬המכיל את ‪ F‬ואת ‪.α‬‬ ‫למעשה‪ ,‬זה שווה לחיתוך כל התת־שדות של ‪ E‬המכילים את ‪ F‬ו ‪.α‬‬ ‫טענה ‪1.3.2‬‬ ‫אם ∞ < ]‪ [F (α) : F‬אזי קיים פולינום ]‪ f (x) ∈ F [x‬שונה מ־‪ 0‬כך ש ‪.f (α) = 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ [F (α) : F] = n‬נסתכל בקבוצה‪ .1, α, α2 , . . . , αn ∈ F (α) :‬אבל זו קבוצה בת ‪ n + 1‬איברים ולכן היא תלויה‬ ‫לינארית מעל ‪ .F‬דהיינו‪ ,‬קיימים ‪ a0 , a1 , . . . , an‬כאשר לא כולם אפסים כך ש‪:‬‬ ‫‪ai αi = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫)כאשר ‪ .(α0 = 1‬ולכן ‪ α‬שורש של הפולינום‪:‬‬ ‫‪ai xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫וזה פולינום =‪. 06‬‬ ‫הערה ‪ 1.3.3‬הוכחנו שאם ‪ [F (α) : F] = n‬אזי יש פולינום ממעלה ≥ ‪ n‬המאפס את ‪.α‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.4‬איבר אלגברי‪ α ∈ E , F ⊆ E :‬נקרא אלגברי מעל ‪ F‬אם קיים פולינום ]‪ 0 6= f (x) ∈ F [X‬כך ש ‪.f (α) = 0‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.5‬אם ‪ α‬אלגברי‪ ,‬אזי נסמן ב )‪ pα (x) = p (x‬את הפולינום המתקון מהמעלה הקטנה ביותר המאפס את ‪.α‬‬ ‫הערה ‪ 1.3.6‬מתוקן‪ :‬המקדם הכי גבוה שלו הוא ‪) 1‬כלומר ‪.(an = 1‬‬ ‫טענה ‪1.3.7‬‬ ‫‪ .1‬הפולינום המינימלי של ‪ α‬יחיד ואי פריק‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬פולינום כך ש ‪ f (α) = 0‬אזי‪.pα (x) | f (x) :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יחידות‪:‬‬ ‫אם יש שניים אזי הפרשם ממעלה קטנה יותר ומאפס‪ .‬ולכן חייב להיות פולינום ‪ .0‬ולכן הם שווים‪.‬‬ ‫אי פריקות‪ :‬אם )‪ p (x) = h (x) g (x‬אזי‪ 0 = p (α) = h (α) g (α) :‬אבל ‪ h (α) , g (α) ∈ E‬ולכן לפחות אחד מהם הוא ‪ .0‬ולכן‬ ‫אם‪ deg h, deg g < deg p :‬וזו סתירה למינימליות של ‪) .p‬כלומר אחד מהם חייב להתאפס על ‪ ,α‬ואם הוא שונה מפולינום האפס אזי‬ ‫קיבלנו פולינום ממעלה נמוכה יותר אשר מתאפס על ‪ α‬וקיבלנו סתירה(‪.‬‬ ‫נוכיח את החלק השני‪.‬‬ ‫נחלק את )‪ f (x‬עם שארית ב )‪:p (x‬‬ ‫)‪f (x) = q (x) p (x) + r (x‬‬ ‫כאשר ‪) r (x) = 0‬פולינום האפס( או ))‪ deg (r (x)) < deg (p (x‬נציב ‪ α‬ונקבל‪:‬‬ ‫)‪0 = f (α) = q (α) p (α) + r (α‬‬ ‫אבל ‪ p (α) = 0‬ולכן חייב להתקיים כי ‪ .r (α) = 0‬אבל דרגתו של ‪ r‬קטנה משל ‪ !p‬ולכן ממינימליות )‪ p (x‬נסיק כי ‪r (x) = 0‬‬ ‫)פולינום האפס(‪ .‬ולכן אין שארית‪ ,‬דהיינו )‪ p (x) | f (x‬כנדרש‪.‬‬ ‫משפט ‪1.3.8‬‬ ‫‪ F ⊆ K‬ו‪ α ∈ K‬אזי ‪ α‬אלגברי מעל ‪.[F (α) : F] < ∞F‬‬ ‫‪6‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו כיוון אחד‪ ,‬אם ∞ < ]‪ [F (α) : F‬אזי ‪ α‬אלגברי‪.‬‬ ‫כיוון שני‪:‬‬ ‫נניח ש ‪ α‬אלגברי ויהא )‪ p (x‬הפולינום המינימלי שלו‪ .‬נגדיר הומומורפיזם של חוגים‪ ϕ : F [x] → K :‬באופן הבא‪.ϕ (f (x)) = f (α) :‬‬ ‫זהו הומומורפיזם מכיוון שאם ניקח סכום של הומומורפיזם של חוגים ־ בדוק(‬ ‫הערה ‪ 1.3.9‬אם אני זוכר נכון ראינו את זה במבנים אלגבריים ‪. 1‬‬ ‫נבחין כי‪:‬‬ ‫))‪ker ϕ = {f (x) | f (α) = 0} = (p (x‬‬ ‫)כלומר האידיאל הנוצר מ)‪ ,p (x‬מכיוון שהוא מאפס את ‪ ,α‬הכפולות שלו מאפסות את ‪ α‬ורק הן(‪.‬‬ ‫ולכן ממשפט ההומומורפיזם הראשון‪:‬‬ ‫∼ ‪Im ϕ‬‬ ‫))‪= F[x]/(p(x‬‬ ‫))‪F[x]/(p(x‬‬ ‫אבל ))‪ (p (x‬אידיאל מקסימלי מאחר והוא פולינום אי פריק‪ .‬ולכן חוג המנה‬ ‫שמימדו מעל ‪ F‬הוא ‪.deg p (x) = n‬‬ ‫ולכן תמונת ‪ ϕ‬זה שדה המכיל את ‪ F‬ואת ‪ α‬ואת )הפולינום ‪ .α = ϕ (x‬כלומר‪ Im ϕ ⊃ F (α) ,‬ולכן ∞ < ]‪ [F (α) : F‬כנדרש‪.‬‬ ‫הוא שדה )הראנו במבנים אלגבריים ‪(1‬‬ ‫תזכורת ‪ 1.3.10‬תזכורת ממבנים אלגבריים ‪:1‬‬ ‫‪ F‬שדה‪ R = F [x] ,‬־ חוג אוקלידי‪.‬‬ ‫כל אידיאל ב ]‪ F [x‬הוא ראשי‪ .I = (f (x)) = Rf (x) ,I ⊳ F [x] ,‬אם )‪ g (x) | f (x‬אזי‪.(f (x)) ⊂ (g (x)) :‬‬ ‫))‪ (g (x‬אידיאל מקסימלי ⇒⇐ )‪ g (x‬פולינום אי ־פריק‪.‬‬ ‫באופן כללי‪ :‬חוג המנה‪ F[x]/(f (x)) :‬הוא מרחב וקטורי ממימד )‪) n = deg f (x‬כאשר ‪ 1, x, . . . , xn−1‬מהוים בסיס לחוג מנה זה מעל‬ ‫‪.(F‬‬ ‫כאשר )‪ f (x‬הוא פולינום אי פריק‪ ,‬אז ))‪ (f (x‬־ אידיאל מקסימלי ולכן‪ F[x]/(f (x)) :‬הוא שדה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪1.3.11‬‬ ‫‪ Im ϕ‬הוא תת שדה של ‪.E‬‬ ‫הערה ‪ 1.3.12‬זה קצת מפתיע‪ ,‬מה הוא ‪ ?Im ϕ‬זה לקחת את כל הפולינומים ולהציב בהם ‪ α‬כלומר‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪) (n−1‬‬ ‫‪( ℓ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ai ∈ F‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪ai x | ai ∈ F‬‬ ‫=‬ ‫| ‪ai α‬‬ ‫= ‪Im ϕ‬‬ ‫‪ℓ∈N‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫כאשר ‪ n‬היא הדרגה של הפולינום המינימלי המאפס את ‪ .α‬מה שמפתיע כאן הוא קיום ההופכי‪ .‬למה הוא מופיע?‬ ‫נקח את הפולינום המתוקן האי־פריק המאפס את ‪:α‬‬ ‫‪p (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn‬‬ ‫כאשר ‪ .p (α) = 0‬נשים לב כי ‪) a0 6= 0‬אחרת הפולינום ‪ x‬היא מחלק אותו‪ ,‬אבל )‪ p (x‬אי־פריק(‪.‬‬ ‫‪a0 + a1 α + . . . + an−1 αn−1 + αn = 0‬‬ ‫נעביר את ‪ a0‬אגפים ונקבל‪:‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪α‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪an−1 n−2 αn−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪− α...−‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪a1 α + . . . + an−1 αn + αn = −a0 ⇒ a1 + a2 α . . . + an−1 αn−2 + αn−1 = −‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיבלנו פולינום שאם מציבים בו ‪ α‬נקבלים ‪.α−1‬‬ ‫משפט ‪1.3.13‬‬ ‫‪ α ∈ E ,F ⊂ E‬אלגברי מעל ‪ F‬אם״ם ∞ < ]‪ .[F (α) : F‬יתר על כן‪ [F (α) : F] = deg p (x) ,‬כאשר )‪ p (x‬הוא הפולינום המינימלי‬ ‫של ‪.α‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫טענה ‪1.3.14‬‬ ‫‪ F ⊂ E‬שדות‪ α, β ∈ E ,‬אלגבריים אזי‪ α ± β, α · β, α/β :‬גם הם אלגבריים )כאשר ‪ β 6= 0‬במנה(‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן )‪ ,K = F (α‬הוא תת־שדה של ‪) E‬ממעלה שווה ל)‪ deg pα (x‬־ הפולינום המינימלי שמאפס את ‪.(α‬‬ ‫נתבונן ב‪) K (β) :‬כלומר‪ ,‬לוקחים את ‪ K‬ומספחים אליו את ‪ .(β‬אז זו הרחבה סופית של ‪ ,K‬כי ‪ β‬אלגברי מעל ‪ F‬ולכן אלגברי מעל‬ ‫‪ .K‬ולכן‪:‬‬ ‫))‪[K (β) : K] ≤ deg (pβ (x‬‬ ‫)‪ pβ (x‬־ הפולינום המינימלי של ‪ β‬מעל ‪) F‬לא מעל ‪ K‬לכן זה ≤ ולא שיוויון(‪.‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫∞ < )‪[K (β) : F] = [K (β) : K] [K : F] = [K (β) : K] [F (α) : F] ≤ deg pβ (x) deg pα (x‬‬ ‫לכן )‪ K (β‬הרחבה סופית של ‪ F‬המכילה את ‪ α/β ,α · β ,α ± β‬ולכן כולם אלגבריים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.15‬סימון‪: :‬‬ ‫)‪F (α, β) = F (α) (β‬‬ ‫הגדרה ‪ F ⊂ E 1.3.16‬שדות‪ α ∈ E ,‬אלגברי‪ .‬נאמר ש ‪α‬־אלגברי ממעלה ‪ n‬אם הפולינום המינימלי של ‪ α‬מעל ‪ F‬הוא ממעלה ‪.n‬‬ ‫מסקנה ‪1.3.17‬‬ ‫אם ‪ α, β ∈ E‬אלגבריים ממעלות סופיות ‪ m‬ו‪ n‬בהתאמה‪ ,‬אזי ‪ α ± β, α · β, α/β‬אלגבריים ממעלה קטנה או שווה ל ‪.m · n‬‬ ‫√‬ ‫‪5‬‬ ‫דוגמה ‪7 1.3.18‬‬ ‫‪5+‬‬ ‫√‬ ‫‪7‬‬ ‫אלגברי ממעלה הקטנה מ‪. 35‬‬ ‫מסקנה ‪1.3.19‬‬ ‫‪ F ⊂ E‬שדות‪ ,‬אזי אוסף האיברים של ‪ E‬שאלגבריים מעל ‪ ,F‬מהווה תת שדה של ‪.E‬‬ ‫הערה ‪ 1.3.20‬נבחין כי כל איבר ב ‪ F‬הוא אלגברי מעל ‪) F‬לדוגמה‪ a ∈ F :‬הפולינום‪ a − x :‬מאפס את ‪(a‬‬ ‫תזכורת ‪ F ⊂ E 1.3.21‬הרחבה של שדות‪.‬‬ ‫‪ α ∈ E .1‬אלגברי )כלומר‪ ,‬קיים פולינום ]‪ 0 6= f (x) ∈ F [x‬כך ש ‪ (f (α) = 0‬אם״ם‪[F (α) : F] < ∞ :‬‬ ‫‪ α, β 6= 0 .2‬אלגבריים אזי ‪ α/β ,α · β ,α ± β‬כולם אלגבריים‪.‬‬ ‫ולכן אוסף האיברים האלגבריים מעל ‪ F‬ב‪ E‬הוא תת שדה של ‪.E‬‬ ‫דוגמה ‪˜ 1.3.22‬‬ ‫‪ = Q‬אוסף האיברים האלגבריים מעל ‪ Q‬ב ‪.C‬‬ ‫∼ )‪.F (α‬‬ ‫ראינו שאם ‪ α‬אלגברי‪ ,‬עם פולינום מינימלי )וראינו כי הוא אי־פריק( )‪ ,p (x‬אזי‪= F[x]/(p(x)) :‬‬ ‫נשים לב שמכאן נובע שטפוס האיזומורפיזם של )‪ F (α‬תלוי רק בפולינום המינימלי שלו‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪ α, β ∈ E‬יש את אותו פולינום‬ ‫∼ )‪ .F (α‬והאיזומורפיזם הזה מעביר בין ‪ α‬ו‪ .β‬מכיוון שהראשון מעביר את ‪ x‬ל‪ α‬והשני את ‪ x‬ל‪.β‬‬ ‫מינימלי אזי‪= F (β) :‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬איזומורפיזם זה מקבע את אברי ‪ F‬במקומם )כלומר‪ ,‬כל איבר ‪ α ∈ F‬עובר להיות הפולינום הקבוע ‪ .(α‬ולכן גם‬ ‫האיזומורפיזם בין ))‪ F[x]/(p(x‬ל )‪ F (α‬זו העתקה לינארית מעל ‪ .F‬אנו יכולים לחשוב עליה גם כהעתקה לינארית בין מרחבים‬ ‫וקטורים‪ .‬כלומר ‪ ϕ : F [x] → E‬המוגדרת‪ ϕ (f (x)) = f (α) :‬משרה איזומורפיזם‪ϕ : F[x]/ker ϕ → Im ϕ = F (α) :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ϕ a · f (x) = ϕ (a)ϕ (f (x)) = af (α) = aϕ f (x‬‬ ‫כאשר ‪ .f (x) = f (x) + ker ϕ‬והמעבר האחד לפני אחרון הוא מההצבה של ‪ a‬בפולינום הקבוע‪.‬‬ ‫ולכן גם האיזומורפיזם בין )‪ F (α‬ל )‪ F (β‬הוא ‪F‬־לינארי‪.‬‬ ‫האם יכול להיות כי )‪ F (α‬ממש שווה ל )‪?F (β‬‬ ‫‪8‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬ ‫דוגמה ‪ p1 (x) = x2 + 1 1.3.23‬ו‪ p2 (x) = x2 + 4 :‬מעל ‪ .Q‬שניהם אי פריקים )אין להם שורשים‪ ,‬והם פולינומים ממעלה ‪ ,2‬לכן אי‬ ‫פריקים(‬ ‫השורשים של הפולינום הראשון הם ‪ .±i‬כלומר‪ ,‬אם ניקח את שדה ההרחבה‪Q (i) = {a + bi | a, b ∈ Q} :‬‬ ‫רגע‪ ,‬למה זה שדה בכלל? כיוון ש‪:‬‬ ‫‪a − bi‬‬ ‫)‪(a + bi) (a − bi‬‬ ‫= )‪(a + bi‬‬ ‫והמכנה הוא ממשי לכן קיבלנו את אותו מבנה‪.‬‬ ‫אבל עכשיו אנו מבינים את זה בדרך יותר קונספטואלי‪ .‬למעשה מדובר בהצבה של ‪ i‬בפולינומים מעל ‪ Q‬ממעלה עד ‪ .2‬כלומר‪:‬‬ ‫∼ )‪Q (i‬‬ ‫))‪= Q[x]/(p1 (x‬‬ ‫ואילו הפולינום השני‪ ,‬השורשים שלו הוא ‪ ,±2i‬אבל מה זה שדה אשר מספחים אליו את ‪ ?2i‬זה בדיוק אותו שדה כמו שמספחים אליו‬ ‫את ‪ .i‬כלומר )‪.Q (2i) = Q (i‬‬ ‫עד כה עסקנו בשאלה הבאה‪ ,‬יש לנו שדה ‪ F‬ויש לנו שדה הרחבה ‪ E‬כך שיש איבר ‪ α ∈ F‬האם יש פולינום שמאפס אותו‪.‬‬ ‫כעת אנו רוצים לעסוק בשאלה ההפוכה‪ ,‬כלומר האם יש שדה שעבורו פולינום נתון מתאפס‪.‬‬ ‫משפט ‪1.3.24‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ f (x) ∈ F [x] ,‬פולינום לא קבוע )כלומר ממעלה הגדולה או שווה ל‪ (1‬אזי קיים שדה ‪ E‬המכיל את ‪ F‬שבו יש ל)‪ f (x‬שורש‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח ש )‪ f (x‬פולינום אי־פריק ב ]‪) F [x‬אחרת נפרק אותו לפולינומים אי פריקים‪ ,‬הם לא קבועים‬ ‫מההגדרה‪ ,‬נקח אחד מהם ונמצא לו שורש(‪.‬‬ ‫נסתכל בשדה ))‪ .E = F[x]/(f (x‬מאחר ו )‪ f (x‬אי פריק אזי זהו שדה‪ E .‬״מכיל״ את ‪) F‬עד כדי איזומורפיזם( כיוון שאנחנו לוקחעים‬ ‫את ‪ F‬ואז‪:‬‬ ‫))‪a ∈ F 7→ a + (f (x‬‬ ‫לוקחים את ‪ a‬ומעבירים אותו למחלקה שמכילה את ‪ .a‬כלומר‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫))‪F ֒→ F [x] −→ F[x]/(f (x‬‬ ‫נסמן ‪ x‬להיות המחלקה‪ x + (f (x)) :‬נבחין כי ‪ .E ∈ x‬נטען כי ‪ x‬הוא שורש של )‪ .f (x‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪ai xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫כאשר ‪ .ai ∈ F‬נציב את ‪:x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪ X‬‬ ‫= ))‪ai xi + (f (x‬‬ ‫= ))‪ai x + (f (x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪ai xi + (f (x)) = f (x) + (f (x)) = 0 + (f (x)) = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ‪ai x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫וזהו האיבר ה‪ 0‬של ‪. E‬‬ ‫כלומר מצאנו שדה שמרחיב את ‪ F‬ובתוכו מצאנו שורש אשר מאפס את הפולינום‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ 1.3.25‬נקח את ‪ .F = R‬ונקח ‪ .f (x) = x2 + 1‬מה למעשה עשינו פה?‬ ‫נניח כי לא ידענו על קיומם של המרוכבים‪ .‬אם היינו מבצעים את תהליך ההוכחה‪ :‬נקח את ]‪ R [x‬ונחלק אותו ב ‪ x + 1‬כלומר‪:‬‬ ‫)‪ .R[x]/(x2 +1‬אבל זה כל האיברים מהצורה ‪ .a + bx‬כלומר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪R[x]/(x2 +1) = a + bx | a, b ∈ R‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ואם נחשב מה הוא נקבל‪0 + 1x = (x) + 1 = 0 :‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .1.4‬שדה סגור אלגברית‬ ‫‪1.4‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫שדה סגור אלגברית‬ ‫הגדרה ‪ 1.4.1‬שדה סגור אלגברית‪ :‬שדה ‪ K‬נקרא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום )‪ f (x‬ממעלה גדולה או שווה ל‪ 1‬ב∈ )‪f (x‬‬ ‫]‪ K [x‬יש שורש ב‪.K‬‬ ‫באופן שקול‪ :‬לכל פולינום אי פריק ב ]‪ K [x‬יש שורש‪.‬‬ ‫ובאופן שקול‪ :‬כל פולינום ]‪ f (x) ∈ K [x‬ניתן לכתיבה כ‪:‬‬ ‫) ‪f (x) = a (x − λ1 ) · . . . · (x − λn‬‬ ‫כאשר ‪.a, λ1 , . . . , λn ∈ K‬‬ ‫משפט ‪ 1.4.2‬המשפט היסודי של האלגברה‬ ‫‪) C‬המרוכבים( הוא שדה סגור אלגברית‪.‬‬ ‫לא נוכיח את המשפט הזה במסגרת הקורס‪ .‬למעשה‪ ,‬אין לו הוכחה אלגברית‪ .‬נוכיח את זה בפונקציות מרוכבות‪.‬‬ ‫משפט ‪1.4.3‬‬ ‫נסמן ˜‬ ‫‪ = Q‬אוסף המספרים האלגבריים )מעל ‪ (Q‬ב ‪ .C‬הוא שדה סגור אלגברית‪.‬‬ ‫בהוכחה נשתמש במשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬ונקבל שדה סגור אלגברית שהוא בן מנייה )כבר ציינו כי ˜‬ ‫‪ Q‬הוא בן מנייה(‪ .‬הוכחה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫יהי ]‪˜ [x‬‬ ‫‪ .ai ∈ Q‬צריך להוכיח שיש ˜‬ ‫‪ f (x) ∈ Q‬פולינום ממעלה גדולה או שווה ל‪ .1‬נסמן‪ f (x) = P ai xi :‬כאשר ˜‬ ‫‪ α ∈ Q‬כך ש‪:‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪.f (α) = 0‬‬ ‫˜‬ ‫יהי ‪ α‬שורשת של )‪ f (x‬ב‪) C‬קיום שורש כזה מובטח ע״י המשפט היסודי של האלגברה(‪ .‬צריך להוכיח ש ‪ .α ∈ Q‬כלומר ש‪ α‬עצמו‬ ‫אלגברי מעל ‪) Q‬ולא רק מעל ˜‬ ‫‪.(Q‬‬ ‫נתבונן ב‪) Q (a0 , a1 , a2 , . . . , an , α) :‬כלומר ‪ Q‬אשר סיפחנו לו את המקדמים של הפולינום ואת ‪ (α‬נבחן את‪:‬‬ ‫]‪[Q (a0 , . . . , an , α) : Q] = [Q (a0 , . . . , an , α) : Q (a0 , . . . , an )] [Q (a0 , . . . , an ) : Q‬‬ ‫אבל ]) ‪ [Q (a0 , . . . , an , α) : Q (a0 , . . . , an‬סופי‪ ,‬כי ‪ α‬הוא אלגברי מעל ) ‪) Q (a0 , . . . , an‬הוא שורש של פולינום עם מקדמים ב‪:‬‬ ‫) ‪ Q (a0 , . . . , an‬־ כלומר אלגברי מעל שדה זה ־ ואף ניתן להגיד כי ערכו קטן או שווה ל‪ n‬מכיוון שיש פולינום ממעלה ‪ n‬אשר מאפס‬ ‫אותו אבל לא מובטח לנו שהוא אי־פריק(‪ .‬אבל גם ]‪ [Q (a0 , . . . , an ) : Q‬סופי‪ ,‬מכיוון ש ‪ a0 , . . . , an‬אלגבריים מעל ‪ Q‬לפי הגדרה‬ ‫ולכן גם נקבל כי‪:‬‬ ‫‪≤ n [Q (a0 , . . . , an ) : Q (a0 , . . . , an−1 )] [Q (a0 , . . . , an−1 ) : Q (a0 , . . . , an−2 )] . . .‬‬ ‫אבל מכיוון ש ‪ an‬אלגברי מעל ‪ Q‬הוא בוודאי אלגברי מעל ) ‪ Q (a0 , . . . , an−1‬ולכן כל הכפולות הנ״ל הן סופיות‪.‬‬ ‫הערה ‪ 1.4.4‬מסתתרת כאן למה כללית יותר‪:‬‬ ‫אם ‪ a0 , . . . an ∈ E‬אלגבריים מעל ‪ F‬אזי‪.[F (a0 , . . . , an ) : F] < ∞ :‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬אם ניקח את )‪ Q (α) ⊆ Q (a0 , . . . , an , α‬ומאחר והשדה בצד ימין הוא ממימד סופי מעל ‪ Q‬קל וחומר ש ∞ < ]‪[Q (α) : Q‬‬ ‫ולכן ‪ α‬אלגברי מעל ‪ Q‬ולכן ˜‬ ‫‪ α ∈ Q‬כנדרש‪.‬‬ ‫טענה ‪1.4.5‬‬ ‫אם ]‪ f (x) ∈ R [x‬אי־פריק אזי ‪.1 ≤ deg (f (x)) ≤ 2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ]‪ f (x) ∈ R [x‬אי פריק‪ ,‬יש לו ‪) α ∈ C‬על פי המשפט היסודי( ולכן‬ ‫‪ .‬אבל ‪ R ⊆ R (α) ⊆ C‬ולכן‪:‬‬ ‫))‪R[x]/(f (x‬‬ ‫הוא שדה אבל זה גם איזומורפי ל )‪R (α‬‬ ‫‪1 ≤ dimR (R (α)) ≤ 2‬‬ ‫ולכן‪ .deg (f (x)) = dim R[x]/(f (x)) ≤ 2 :‬כנדרש‪.‬‬ ‫הערה ‪ 1.4.6‬אם ]‪ f (x) ∈ R [x‬ואם ‪ α‬שורש לא ממשי של )‪ f (x‬אז גם ‪) α‬הצמוד המרוכב של ‪ (α‬הוא שורש‪ .‬ולכן | )‪(x − α) (x − α‬‬ ‫)‪ .f (x‬אבל מה זו המכפלה הזו? ‪.x2 − (α + α) x + α · α‬‬ ‫מסקנה ‪1.4.7‬‬ ‫כל פולינום לא קבוע ]‪ f (x) ∈ R [x‬מתפרק למכפלה של פולינומים ב]‪ R [x‬ממעלות ‪ 1‬או ‪.2‬‬ ‫מיידי מהמסקנה הקודמת‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫מסקנה ‪1.4.8‬‬ ‫כל פולינום ]‪ f (x) ∈ R [x‬ממעלה אי־זוגית יש שורש ב‪.R‬‬ ‫נבחין מהמסקנה הקודמת‪ ,‬לא יכול להיות שכל הפולינומים המפרקים אותו הם זוגיים מכיוון שאז המעלה הייתה יוצאת זוגית‪.‬‬ ‫הוכחה נוספת היא בעזרת ‪ α‬ו‪ ,α‬הרי מעל ‪ C‬הוא פריק לגורמים לינארים‪ ,‬ואז יש לו לכל היותר ‪ n‬שורשים כאלה‪ ,‬כלומר לא לכל‬ ‫אחד יש את הצמוד המרוכב שלו ־ אזי יש שם איבר ממשי‪.‬‬ ‫הוכחה שלישית כמו שכבר ראינו באינפי‪ f (x) ∈ R [x] ,‬ממעלה אי זוגית )אפשר להניח שמתוקן( אזי‪ lim f (x) = ∞ :‬לעומת זאת‪:‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫∞‪lim f (x) = −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫)מכיוון שהאיבר המוביל הוא החזקה הגדולה ביותר‪ ,‬האחרים הופכים לזניחים ביחס אליו( ואז ממשפט ערך‬ ‫הביניים‪ ,‬מכך שפולינום הוא פונקציה רציפה‪ ,‬יש ‪ x ∈ R‬כך ש ‪.f (x) = 0‬‬ ‫מסקנה ‪1.4.9‬‬ ‫אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬פולינום ממעלה ‪ ,n‬אזי ל‪ F‬הרחבה ‪ E‬ממעלה לכל היותר !‪ n‬שבה )‪ f (x‬מתפרק לגורמים לינארים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪:n‬‬ ‫יש הרחבה ‪ E1‬ממעלה ‪ n‬שבה יש שורש ‪ .α‬לכן‪∈ E1 [x] :‬‬ ‫או שווה ‪ n − 1‬שבה יש שורש ‪ β‬של‬ ‫ונמשיך באינדוקציה‪.‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x−α‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x−α‬‬ ‫כלומר‪∈ E2 [x] :‬‬ ‫זה פולינום ממעלה ‪ n − 1‬ולכן יש הרחבה ‪ E2‬של ‪ E1‬ממעלה קטנה‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪. (x−α)(x−β‬‬ ‫משפט ‪1.4.10‬‬ ‫‪ F ⊆ F‬כך ש ˜‬ ‫‪ ,F‬כלומר ˜‬ ‫לכל שדה ‪ F‬יש הרחבה ˜‬ ‫‪ F‬סגור אלגברית‪.‬‬ ‫˜‬ ‫יתר על כן‪ ,‬אם ‪ F‬אינסופי‪ ,‬אזי יש ‪ F‬מאותה עוצמה של ‪.F‬‬ ‫בפרט אם ‪ F‬בן־מנייה אזי יש ˜‬ ‫‪ F‬הוא בן מניה‪.‬‬ ‫אנחנו לא אומרים שהיא יחידה )למרות שכן במובן מה(‪ ,‬לא נוכיח את זה במסגרת הקורס‪.‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫שדות סופיים‬ ‫‪ |1 + .{z‬אזי ל־‪ n‬הקטן ביותר המקיים זאת נקרא‬ ‫הגדרה ‪ 1.5.1‬מציין\קרקטריסטיקה‪ :‬אם ‪ F‬שדה וקיים ‪ 0 6= n ∈ N‬כך ש ‪. . + 1} = 0‬‬ ‫‪n‬פעמים‬ ‫המציין של ‪. F‬‬ ‫הערה ‪ 1.5.2‬אם לא קיים ‪ n‬כנ״ל‪ ,‬נאמר שהמציין של ‪ F‬הוא ‪.0‬‬ ‫טענה ‪1.5.3‬‬ ‫המציין של ‪ F‬הוא מספר ראשוני‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ 1 + . . . + 1 = 0‬ו ‪ n = m · k‬אזי‪ 1 + . . . + 1 1 + . . . + 1 = 1 + . . . + 1 = 0 :‬אבל בשדה אין מחלקי אפס‪,‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪n‬פעמים‬ ‫‪n‬פעמים‬ ‫‪k‬פעמים‬ ‫לכן אחד מ‪ 1 + . . . + 1:‬או ‪ 1 + . . . + 1‬חייב להיות אפס‪ ,‬בסתירה למינימליות של ‪.n‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪m‬פעמים‬ ‫‪k‬פעמים‬ ‫טענה ‪1.5.4‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ F‬שדה עם מציין ראשוני ‪ ,p‬אזי ‪ F‬מכיל את ‪) Fp‬כלומר מכיל שדה‬ ‫איזומורפי ל ‪.(Fp‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ F‬שדה עם מציין ‪ ,0‬אזי מכיל את ‪.Q‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪m‬פעמים‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬ ‫‪ .1‬נסתכל ב‪ p‬האיברים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+1‬‬ ‫‪1+1+1‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 + 1 + ...+ 1 + 1‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪p − 1‬פעמים‬ ‫יש כאן ‪ p‬איברים שחוקי החבור והכל בינהם מתנהגים בדיוק כמו ב‪ Fp = Z/pZ :‬המוכר‪.‬‬ ‫עבןר החיבור הנ״ל ברור‪ ,‬עבור הכפל נובע מהדיסטרבטיביות ושוב ברור‪ .‬לכן יש באמת איזומורפיזם בין ‪ Fp‬אליו‪.‬‬ ‫‪ .2‬לא נוכיח בשלב זה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪1.5.5‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ‪ F‬שדה סופי‪ ,‬אזי קיים ראשוני ‪ p‬ושלם חיובי ‪ n‬כך ש ‪.|F| = p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ברור שהמציין של ‪ F‬אינו ‪ ,0‬ולכן הוא ‪ p‬לאיזשהו ראשוני ‪.p‬‬ ‫ולכן ‪ F‬מכיל את ‪ ,Fp‬ולכן ‪ F‬מרחב וקטורי מעל ‪ Fp‬ממימד סופי‪ ,‬ולכן כמרחב וקטורי הוא איזומורפי‬ ‫ל ‪Fnp‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ובפרט‪ |F| = p ,‬כנדרש‪.‬‬ ‫‪ 1.5.1‬שורשים מרובים של פולינום‬ ‫יהי ]‪ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,f (x) ∈ F [x‬כאשר ‪.ai ∈ F‬‬ ‫נגדיר את הנגזרת להיות‪:‬‬ ‫‪f ′ (x) = nan xn−1 + (n − 1) an−1 xn−1 + . . . + 2a2 x + a1‬‬ ‫כאשר עבור ‪ a ∈ F‬ו ‪ m ∈ N‬אנו מסמנים‪:‬‬ ‫‪ma = a + a + . . . + a‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪m‬פעמים‬ ‫הערה ‪ 1.5.6‬בניגוד לאינפי הנגזרת מוגדרת להיות כך‪ ,‬ולא עם גבולות‪.‬‬ ‫אנו רגילים כי נגזרת של פולינום ממעלה ‪ n‬הוא פולינום ממעלה ‪ ,n − 1‬אבל הדבר לא בהכרח קורה בשדה עם מציין ‪ .p‬לדוגמה‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪(1 · xp ) = p · 1xp−1 = 0‬‬ ‫טענה ‪1.5.7‬‬ ‫אם ]‪ f (x) , g (x) ∈ F [x‬אזי‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪(f (x) + g (x)) = f ′ (x) + g ′ (x) .1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪(f (x) · g (x)) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x) .2‬‬ ‫☎‬ ‫✆ תרגיל‪ :‬להוכיח את הטענה הנ״ל‪.‬‬ ‫✞‬ ‫✝‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪. x−α‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.5.8‬שורש פשוט\שורש מרובה‪ :‬אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬ו‪ α‬שורש של )‪ f (x‬יקרא שורש פשוט אם ‪ α‬אינו שורש של‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ו‪ α‬יקרא שורש מרובה אם ‪ α‬שורש גם של‬ ‫‪. x−α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫במקרה השני‪ ,‬נקבל כי )‪(x − α) | f (x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬ ‫טענה ‪1.5.9‬‬ ‫‪′‬‬ ‫אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬אזי כל השורשים של )‪ f (x‬הם פשוטים אם״ם‪) (f (x) , f (x)) = 1 :‬כלומר זרים‪ gcd ,‬שלהם הוא ‪(1‬‬ ‫הערה ‪ 1.5.10‬כדי לבדוק אם הם זרים‪ ,‬אפשר בעזרת האלגוריתם של אוקלידס‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ניח ‪ α‬שורש מרובה אזי‪ .(x − α)2 | f (x) :‬כלומר‪ f (x) = (x − α)2 g (x) :‬לאיזשהו )‪.g (x‬‬ ‫נחשב את )‪:f ′ (x‬‬ ‫‬ ‫‪′‬‬ ‫)‪f ′ (x) = (x − α)2 g (x‬‬ ‫נשתמש בנוסחת המכפלה‪:‬‬ ‫‪i′‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f ′ (x) = (x − α) g (x) + (x − α) g ′ (x) = (x − α) (x − α) + (x − α) (x − α) g (x) + (x − α) g ′ (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מכאן ש )‪ x − α | f ′ (x‬וכזכור )‪ (x − α) | f (x‬ולכן‪ x − α | (f (x) , f ′ (x)) :‬ובפרט‪.(f (x) , f ′ (x)) 6= 1 :‬‬ ‫נניח כי ‪ (f (x) , f ′ (x)) 6= 1‬נרצה להראות כי יש שורש מרובה‪.‬‬ ‫נניח שאין שורש מרובה אזי‪:‬‬ ‫) ‪(x − λi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪f (x) = a‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫וכל ה ‪ λi‬שונים ו ‪.a 6= 0‬‬ ‫אפשר לחשב את הנגזרת‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪(x − λi )  (x − λj ) = a‬‬ ‫) ‪(x − λj‬‬ ‫‪j6=i‬‬ ‫‪i=1 j6=i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f ′ (x) = a‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ולכן עבור ‪ r = 1, . . . , n‬נקבל כי‪:‬‬ ‫) ‪(λj − λr‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪f ′ (λr ) = a‬‬ ‫‪j6=r‬‬ ‫אם אין שורש מרובה הרי ‪ f ′ (λr ) 6= 0‬לכל ‪ .r = 1, . . . , n‬כלומר אין ל )‪ f (x‬ו )‪ f ′ (x‬שורשים משותפים באף שדה הרחבה‪ .‬ולכן‬ ‫לא ייתכן שיהיה להם מחלק משותף‬ ‫נשתמש בטענות הנ״ל באופן הבא‪:‬‬ ‫יהיה ‪ F = Fp = Z/pZ‬השדה מסדר ‪ p) p‬ראשוני(‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נקבע ‪ n ∈ N‬ונתבונן בפולינום ‪. f (x) = xp − x‬‬ ‫ראשית נציין ש ‪ .f ′ (x) = −1‬בפרט‪ (f (x) , f ′ (x)) = 1 ,‬ולכן בשדה הרחבה ‪ E‬שבו )‪ f (x‬מתפצל לגורמים לינארים כל שורשי‬ ‫)‪ f (x‬הם שונים זה מזה‪.‬‬ ‫יהי ‪ E‬שדה שבו אכן )‪ f (x‬מתפרק לגורמים לינארים ונסמן ב ‪ K‬את אוסף שורשי )‪:f (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪K = α ∈ E | αp − α = 0‬‬ ‫‪ K‬הנ״ל קבוצה מסדר ‪|K| = pn .pn‬‬ ‫טענה ‪1.5.11‬‬ ‫‪ K‬מהוה שדה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ננבחין כי ‪.0, 1 ∈ K‬‬ ‫יהיו ‪ .α, k ∈ K‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪pn‬‬ ‫)‪.(α + β‬‬ ‫‪13‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬ ‫למה ‪1.5.12‬‬ ‫יהי ‪ D‬שדה ממציין ‪ p‬ראשוני‪ .‬יהיו ‪ α, β ∈ D‬אזי‪:‬‬ ‫‪(α + β)p = αp + β p .1‬‬ ‫‪(α · β)p = αp · β p .2‬‬ ‫הוכחה‪ 2 :‬ברור‪.‬‬ ‫נראה את ‪ .1‬נבחין כי‪:‬‬ ‫ ‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪p i p−i‬‬ ‫‪αβ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫אבל נשים לב שעבור ‪ p > i > 0‬מתקיים‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= )‪(α + β) = (α + β) (α + β) . . . (α + β‬‬ ‫| ‪ p‬כיוון ש‪:‬‬ ‫ ‬ ‫!‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫!)‪i! (p − i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ p‬הוא ראשוני‪ ,‬אבל ‪ p > i > 0‬ולכן לא מופיע במכנה‪ ,‬ולכן הוא לא מצטמצם‪.‬‬ ‫כלומר בסכום הנ״ל אנו צריכים להסתכל רק על הראשון והאחרון כיוון שאם אנו מחברים ‪ p‬פעמים את אותו איפה אנו מקבלים אפס‬ ‫)זו המשמעות של מציין ‪ (p‬ולכן נקבל כי‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪p 0 p−0‬‬ ‫‪p p p−p‬‬ ‫= ‪(α + β)p‬‬ ‫‪α β‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪α ·β‬‬ ‫‪= a0 β p + αp β 0 = αp + β p‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬ ‫מסקנה ‪1.5.13‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ D‬שדה ממציין ‪ .0 < p‬אזי העתקה ‪ Φ : D → D‬המוגדרת באופן הבא‪ Φ (α) = α :‬היא הומומורפיזם של שדה הנקרא הומומורפיזם‬ ‫של פרודיניוס‪.‬‬ ‫נבדוק ש ‪ K‬סגור לחיבור\כפל ולקיחת הופכי‪.‬‬ ‫לגבי החיבור‪ ,‬אם ‪ α, β ∈ K‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(α + β)p = Φn (α + β) = Φn (α) + Φn (β) = αp + β p = α + β‬‬ ‫הערה ‪ 1.5.14‬כאשר ‪ Φ‬זה ההומומורפיזם של פרודיניוס‪ .‬ולכן גם ‪ Φn‬הומומורפיזם‪.‬‬ ‫הערה ‪.K = Fix (Φn ) 1.5.15‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪pn‬‬ ‫אם ‪ ,α, β ∈ K‬נבחין כי גם‪= αp β p = αβ ⇒ α · β ∈ K :‬‬ ‫‬ ‫‪n −1‬‬ ‫‪pn‬‬ ‫‪ α−1‬כלומר‪∈ K ,‬‬ ‫‪= αp‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬נבחין כי אם ‪ 0 6= α ∈ K‬אזי‪= α−1 :‬‬ ‫)‪.(α · β‬‬ ‫‪.α−1‬‬ ‫מסקנה ‪1.5.16‬‬ ‫לכל ‪ p‬ראשוני ולכל ‪ 1 ≤ n ≤ N‬יש שדה מסדר ‪.pn‬‬ ‫מסקנה ‪1.5.17‬‬ ‫לכל ‪ l | n′‬יש שדה ביניים יחיד בין ‪ Fp‬ל‪ K‬מסדר ‪.p‬‬ ‫‪l‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו שיש ‪ L‬כזה‪ .‬מדוע הוא יחיד?‬ ‫אם ‪ L‬שדה נוסף מסדר ‪ pl‬בתוך ‪ K‬אזי איברי ‪ L‬השונים מ‪ 0‬נמצאים ב }‪ (L ) = L \ {0‬זו חבורה סופית מסדר ‪ p − 1‬ולכן‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫מקימים ‪ .γ p −1 = 1‬ולכן ‪ γ p = γ‬כלומר שורשי הפולינום ‪ xp − x‬וכך גם ‪ ,0‬אזי ‪.L′ = L‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪14‬‬ ‫∗ ‪′‬‬ ‫‪l‬‬ ‫פרק ‪ .1‬שדות‬ ‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬ ‫הערה ‪ 1.5.18‬לשדה ‪ K‬מסדר ‪ pn‬יש בדיוק ‪ n‬אוטומואפיזם‪ .‬למעשה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Aut (K) = Id, Φ, Φ2 , . . . , Φn−1‬‬ ‫אם ‪ H‬חבורה חלקית של ‪ Φ‬אז ‪ H‬ציקלית ונוצרת ע״י ‪ Φr‬כאשר ‪ .r | n‬נסתכל על }‪˜ = {α ∈ K | ψ (α) = α ∀ψ ∈ H‬‬ ‫‪ ,H‬זהו שדה‬ ‫מסדר ‪.pr‬‬ ‫‪15‬‬ ‫פרק ‪2‬‬ ‫לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫נתונה קבוצת נקודות ‪ S‬במישור‪ .‬בידינו סרגל )הכוונה למוט ישר בלי סימוני קורדינטות עליו‪ ,‬ארוך כרצונינו(‬ ‫ומחוגה‪ .‬מתוך הקבוצה ‪ S‬אפשר לבנות נקודות חדשות במישור באופן הבא‪:‬‬ ‫בין כל ‪ 2‬נקודות ב ‪ S‬אפשר למתוח קו ישר ולהמשיכו לשני הצדדים כרצוננו‪.‬‬ ‫כמו כן ניתן לפתוח את המחוגה כך שקצותיה יהיו בנדוקות ‪ s1 , s2 ∈ S‬ואז לצייר מעגל ברדיוס ) ‪ dist (s1 , s2‬מסביב הנקודה ‪.s3 ∈ S‬‬ ‫הנקודות החדשות הן נקודות מפגש של קוים ומעגלים שנבנו כך מ‪.S‬‬ ‫נבחין שעם נקודה אחת אני לא יכולים לעשות כלום‪.‬‬ ‫לעומת זאת בעזרת ‪ 2‬נקודות אנו ראשית יכולים להעביר בניהם ישר‪ .‬וכמו כן לבנות מעגל כאשר הרדיוס שלו יהיה המרחק בניהם‬ ‫סביב הנקודה הראשונה וסביב השניה )לא מדובר באותו מעגל!(‪.‬‬ ‫יצרנו כאן ‪ 2‬נקודות חדשות‪ ,‬אם נעביר ישר בין הנקודות החדשות נקבל חיתוך עם הישר הראשון‪ ,‬אשר יחתוך אותו בדיוק באמצע‬ ‫בין הנקודות‪.‬‬ ‫כלומר בעזרת סרגל ומחוגה‪ ,‬ניתן לחלק כל קטע לחצי ואנו גם יכולים לבנות אנך )כיוון שהוא יהיה מאונך כי מתקבל מעויין למעשה(‪.‬‬ ‫נבחין כי אנו מקבלים למעשה את כל השלים בצורה זו גם על ציר ה‪ x‬וגם על ציר ה‪) y‬החיתוך של הנוצר מהמחוגה עם הישר(‪.‬‬ ‫ולכן אנו יכולים גם לקבל חלוקה ב‪ .n‬לדוגמה נשיג את ‪ 3‬בכך שנעביר ישר בין )‪ (0, 3‬ל )‪ .(1, 0‬ונעביר לו ישר מקביל העובר ב )‪(0, 1‬‬ ‫ואז הוא יחתוך את ציר ה‪ x‬בשליש‪.‬‬ ‫איך מעבירים מקביל?‬ ‫נפתח מעגל סביב הנקודה הראשונה בקטע העובר בנקודה שבא אנו רוצים את המקביל‪ .‬באופן דומה עם הנקודה השניה‪ .‬מהקודקוד‬ ‫החדש נקבל דלתון )האלכסונים ניצבים!(‪ .‬על מנת לקבל מקביל ניצור באופן דומה לבניית השלמים נקודה בהמשך הישר כך שנקבל‬ ‫שהנקודה שלנו בדיוק במרכזו‪ ,‬ונשתמש בטכניקה ממקודם על מנת לקבל ניצב‪.‬‬ ‫למעשה אנו יכולים לבנות כל מספר רציונליים‪ ,‬אבל לא רק!‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫לדוגמה ניתן גם לבנות את ‪ 2‬־ נבנה ריבוע‪ ,‬הרדיוס מ)‪ (0, 0‬ל )‪ (1, 1‬הוא ‪ , 2‬נבנה עיגול‪ ,‬החיתוך עם ציר ה‪ x‬הוא שורש ‪.2‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫לרבע את המעגל‬ ‫נותנים לנו קטע בין ‪ 0‬ל‪ 1‬ובונים סביבו מעגל‪.‬‬ ‫אנו מחפשים ריבוע שההקף שלו הוא כמו ההקף של המעגל‪ ,‬כלומר ריבוע שההקף שלו הוא ‪ ,2π‬כלומר צלע שהיא‬ ‫לבנות את הנקודה ‪ . π2‬אבל ‪ π‬הוא לא אלגברי! לכן גם ‪ π2‬ולכן אין דרך להגיע לזה בעזרת סרגל ומחוגה!‬ ‫‪. π2‬‬ ‫דהיינו‪ ,‬הם רצו‬ ‫הגדרה ‪ 2.1.1‬ניתן לבניה‪ :‬מספר ממש ‪ α‬נקרא ניתן לבניה אם להגיע ל)‪ (α, 0‬במספר סופי של צעדי בניה החל מ)‪ (0, 0‬ו)‪ (1, 0‬ע״י‬ ‫סרגל ומחוגה‪.‬‬ ‫הערה ‪ α 2.1.2‬ניתן לבניה אם״ם קיים ‪ β‬כך שניתן להגיע במספר סופי של צעדי בניה ל )‪ (α, β‬ואם״ם ניתן להגיע ל )‪.(0, α‬‬ ‫ראינו כי כל מספר רציונלי הוא ניתן לבניה‪.‬‬ ‫למה ‪2.1.3‬‬ ‫אם ‪ α, β‬ניתנים ולבנייה אזי ‪ a + β‬ניתן לבניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם אנו יודעים להגיע ל )‪ (α, 0‬ו)‪ (β, 0‬אז אנו שמים מחוגה בניהם ומגיעים ל ‪ α + β‬על ידי סיבוב ב‪ 180‬מעלות‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫טענה ‪2.1.4‬‬ ‫אם ‪ α‬מספר ממשי חיובי ניתן לבניה‪ ,‬אזי גם ‪α‬‬ ‫√‬ ‫ניתן לבניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ α‬ניתן לבניה גם ‪ α + 1‬ניתן לבניה‪.‬‬ ‫נצייר מעגל שקוטרו ‪.1 + α‬‬ ‫הערה ‪ 2.1.5‬מוצאים את‬ ‫‪α+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ומשתמשים בו כרדיוס‪.‬‬ ‫יש לנו גם את הנקודה )‪ (1, 0‬נעביר דרכה אנך‪ .‬ונסמן )‪ (1, β‬את הנקודת החיתוך עם המעגל‪.‬‬ ‫המשולש )‪ (0, 0) , (1, β) , (α + 1, 0‬הוא ישר זווית )משולש שהיתר שלו הוא הקוטר הוא ישר זווית(‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬האנך מפצל את המשולשים לדומים )קל להראות שהזוויות שוות(‬ ‫ולכן נשמרים יחסים בין הצלעות‪ .‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪= ⇒ β2 = α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫ולכן מצאנו שורש ל‪.α‬‬ ‫טענה ‪2.1.6‬‬ ‫אוסף המפרים הניתנים לבניה ‪ K‬הוא תת־שדה ש ‪.R‬‬ ‫הוכחה‪ ,0, 1 ∈ K :‬ראינו שאם ‪ α, β ∈ K‬אזי ‪ .α + b ∈ K‬נראה שגם ‪.α · β ∈ K‬‬ ‫נבחין כי אנו יודעים לבנות את )‪ ,(0, 1‬נעביר קו בין )‪ (α, 0‬ל )‪ .(0, 1‬נעביר דרך )‪ (β, 0‬מקביל לישר הקודם‪.‬‬ ‫המשולשים שנוצרו על ידי הישרים והצירים דומים‪ .‬לנקודת החיתוך של הישר העובר דרך )‪ (β, 0‬נקרא )‪.(0, γ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫נקראה שגם ‪∈ K‬‬ ‫‪ . α‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫=‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪ γ = α‬ו‪ γ :‬ניתן לבניה‪.‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫נראה ש ‪ .α · β ∈ K‬הפעם נמקם את ‪ β‬דווקא על ציר ‪.y‬‬ ‫נעביר קו בין )‪ (α, 0‬ל )‪ (0, 1‬ונעביר גם בין )‪ (0, β‬ל)‪ (γ, 0‬קו מקביל לקודם‪.‬‬ ‫נקבל שוב משולשם דומים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪= ⇒γ = α·β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ולכן ‪ K‬אכן תת שדה‪.‬‬ ‫נניח ש‪ 2‬נקודות )‪ (a, b‬ו )‪ (c, d‬במישור ניתנות בניה‪ ,‬אזי משוואת הישר בניהן היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪d−b‬‬ ‫‪d−b‬‬ ‫= )‪ℓ (x‬‬ ‫‪x+b−‬‬ ‫‪·a‬‬ ‫‪c−a‬‬ ‫‪c−a‬‬ ‫מה שחשוב הוא‪ ,‬שהמקדמים של הישר ניתנים לבנייה‪.‬‬ ‫אם ) ‪ (a, b) , (c, d) , (e, f‬ניתנים לבנייה אז אנו יכולים לקבל את המעגל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x − e) + (y − f ) = r2‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪r2 = dist2 ((a, b) , (c, d)) = (a − c) + (b − d‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫ניתן לפתוח את זה‪ ,‬ולקב‪:‬‬ ‫‪x2 + y 2 − 2ex − 2f y + g = 0‬‬ ‫עבור ‪ g‬כלשהו‪.‬‬ ‫לא כל־כך מעניין אותנו הדיוק‪ ,‬מה שמעניין אותנו הוא שהמעגל שיצרנו הוא מהצורה‪:‬‬ ‫‪x2 + y 2 + αx + βγ + δ = 0‬‬ ‫כאשר ‪ α, β, δ‬ניתנות לבנייה‪.‬‬ ‫איך מקבלים נקודה חדשה הניתנת לבנייה )מתוך הנקודות שכבר בנינו בשלבים שלנו(‪.‬‬ ‫נקודה חדשה שניתנת לבנייה מתקבלת ע״י‪:‬‬ ‫‪ .1‬חיתוך ישר עם ישר‬ ‫‪ .2‬חיתוך ישר עם מעגל‬ ‫‪ .3‬חיתוך מעגל עם מעגל‬ ‫הערה ‪ 2.1.7‬בכל אחד מהמקרים מקדמי משוואת הישר או המעגל נמצאים בשדה הנוצר מעל ‪ Q‬בעזרת הנקודות שנבנו עד כה‪.‬‬ ‫טענה ‪2.1.8‬‬ ‫אם ‪ ρ ∈ R‬מספר ממשי ניתן לבניה בסדרה סופית של פעולות‪ ,‬אזי יש סדרה של שדות‪:‬‬ ‫‪Q ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Km‬‬ ‫כך ש ‪ [Ki : Ki−1 ] ≤ 2‬לכל ‪ i = 1, . . . , m‬ו‪.ρ ∈ Km :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בתהליך הבניה מתחילים בנקודות })‪ S0 = {(0, 0) , (1, 0‬וכל פעם בונים קבוצה גדולה יותר בנקודה אחת‪:‬‬ ‫‪S0 ⊆ S1 ⊆ S2 ⊆ . . . ⊆ Sm‬‬ ‫עד ‪.ρ ∈ Sm‬‬ ‫הקורדנטות של ‪ S0‬נמצאות ב ‪ .Q‬בהוספת נקודה חדשה מ‬ ‫נתבונן בנקודה חדשה שהתקבלה‪:‬‬ ‫‪ Si−1‬ל ‪ Si‬מה עושים?‬ ‫‪ .1‬חתוך של שני ישרים‪:‬‬ ‫‪y = αx + β‬‬ ‫‪y = α′ x + β ′‬‬ ‫(‬ ‫אם יש פתרון‪ ,‬אזי הוא לא יוצא מהשדה שבו מקדמי המשוואותץ‬ ‫‪ .2‬חיתוך ישר ומעגל‪:‬‬ ‫‪y = αx + β‬‬ ‫‪x2 + y 2 + γx + δy + η = 0‬‬ ‫(‬ ‫מציבי את ‪ y‬מהמשוואה הראשונה בשניה ומקבלים‪:‬‬ ‫‪x2 + (αx + β)2 + γx + δ (αx + β) + η = 0‬‬ ‫לא מספיק מעניין לפתוח את זה‪ ,‬בגדול נקבל‪:‬‬ ‫√‬ ‫בשדה ‪∗ ±‬‬ ‫=‬ ‫∗‬ ‫‪x1,2‬‬ ‫יכול להיות שנחרוג מהשדה‪ ,‬כיוון שיכול להיות שהשורש לא בשדה‪ ,‬לכן כאן עלינו לכל היותר עלינו בשדה ב ‪ 2‬מעלות‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬ ‫‪ .3‬חיתוך מעגל עם מעגל‪ ,‬נקבל ‪ 2‬משוואות‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0‬‬ ‫‪x2 + y 2 + α′ x + β ′ y + δ ′ = 0‬‬ ‫פתרון זוג משוואות זה שקול לפתרון של‪:‬‬ ‫‪x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0‬‬ ‫‪(a − a′ ) x + (β − b′ ) y + (δ − d′ ) = 0‬‬ ‫(‬ ‫)הפחתנו את המשוואה השניה מהראשונה(‪ .‬אבל זו משוואה של ישר כבר‪ ,‬וזה מקרה ב׳‪.‬‬ ‫טענה ‪2.1.9‬‬ ‫‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה אם״ם קיימת סדרת שדות‬ ‫‪Q ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Km‬‬ ‫כך ש ‪ [Ki : Ki−1 ] ≤ 2‬לכל ‪ i = 1, . . . , m‬ו‪.α ∈ Km :‬‬ ‫הערה ‪ 2.1.10‬נבחין כי הוכחנו את הטענה בכיוון ⇐ אנו כעת רוצים להראות כי זה אכן אם״ם‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כאמור את הכיוון ⇐ ראינו‪.‬‬ ‫נראה את ⇒‪ .‬נניח שיש סדרה כנ״ל‪ .‬וצריך להוכיח ש ‪ α‬ניתן לבנייה‪ .‬ראשית נוכיח את הלמה הבאה‪:‬‬ ‫למה ‪2.1.11‬‬ ‫ √‬ ‫אם ‪ F‬שדה כלשהו ממציין =‪ 2 6‬ו‪ E :‬הרחבה של ‪ F‬כך ש ‪ [E : F] = 2‬אזי קיים ‪ β ∈ F‬כך ש ‪.E = F β‬‬ ‫√‬ ‫הערה ‪ 2.1.12‬זהירות‪ .‬זה לא נכון במציין ‪ .2‬למשל ‪ .F4‬נבחין את ‪ .[F4 : F2 ] = 2‬אבל כל ‪. β ∈ F2 β ∈ F2‬‬ ‫∈ ‪ .γ‬יהא )‪ p (x‬הפולינום המתוקן המינימלי של ‪ γ‬מעל ‪.F‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נבחר ‪ γ ∈ E‬כך ש ‪/ F‬‬ ‫‪ .deg p (x) = [E : F] = 2‬אזי‪ p (x) = x2 + bx + c :‬ושורשיו הם‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪−b ± b2 − 4c‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ברור ש )‪.E = F (γ‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫הערה ‪ 4 2.1.13‬זו המשמעות של ‪ ,4‬כלומר‪ .c + c + c + c :‬אבל מה זה אומר לחלק ב‪ ?2‬זה אומר לפתור את המשוואה‪.x + x = y :‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪−b + b2 − 4c‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= (1 + 1‬‬ ‫√‬ ‫ √‬ ‫נקח‪ .F ∋ β = b2 − 4c :‬נבחין כי‪β = F (γ) = E :‬‬ ‫‪.γ‬‬ ‫√‬ ‫נזכיר שהראנו שאם ‪ γ‬ניתן לבנייה אזי גם ‪ γ‬ניתן לבנייה‪ .‬ולכן באינדוקציה על ‪) m‬תוך שימוש בלמה( כל איברי‬ ‫וכך גם ‪.α‬‬ ‫אנו יכולים להגיד‪:‬‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪βi−1‬‬ ‫‪Ki = Ki−1‬‬ ‫‪ .F‬כלומר‪ . γ = x1 ∨ x2 :‬וסיפוח ‪β‬‬ ‫עבור ‪ βi−1 ∈ Ki−1‬כלשהו‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫יחד עם סגירות בשדה ⇐ סיפוח‬ ‫‪ Km‬ניתנים לבניה‬ ‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫מסקנה ‪2.1.14‬‬ ‫‪ℓ‬‬ ‫אם ‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה אזי ‪ α‬אלגברי ‪ [Q (α) : Q] = 2‬לאיזשהו }‪.ℓ ∈ N ∪ {0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בסימונים הקודמים‪ Q (α) ⊆ Km :‬ולכן‪:‬‬ ‫‪[Q (α) : Q] | [Km : K] | 2m‬‬ ‫הערה ‪ 2.1.15‬יתכן כי ‪ [Q (α) : Q] = 2ℓ‬ו‪ α‬לא ניתן לבניה! )זהו לא תנאי הכרחי ומספיק(‪.‬‬ ‫משפט ‪2.1.16‬‬ ‫‪ .1‬אי אפשר לרבע את המעגל‪.‬‬ ‫‪ .2‬אי אפשר לרבע את העיגול‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית נבחין כי‪:‬‬ ‫‪ .1‬שקול לכך שלא ניתן לבנות את ‪. π2‬‬ ‫√‬ ‫‪ .2‬שקול לכך שלא ניתן לבנות את ‪. π‬‬ ‫√‬ ‫ושניהם נכונים בגלל משפט לינדנמם )אשם לא נוכיח( האומר כי‪ π :‬לא אלגברי‪ .‬ולכן ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ו‪2‬‬ ‫לא אלגברי‪.‬‬ ‫משפט ‪2.1.17‬‬ ‫אי אפשר להכפיל את הקובייהץ‬ ‫כלומר איננו יכולים לבנות ע״י סרגל ומחוגה צלע של קוביה שנפחה פעמיים נפח קוביה נתונהץ‬ ‫√‬ ‫הערה ‪ 2.1.18‬במילים אחרותץ לא ניתן לבנות את ‪. 3 2‬‬ ‫√‬ ‫הוכחה‪ :‬זה כך בגלל ש ‪ α = 3 2‬הוא שורש של ‪ x3 − 2‬אבל ‪ x3 − 2‬הוא פולינום אי־פריק מעל ‪ .Q‬בגלל שאין לו שורש רציונלי‪ ,‬אבל‬ ‫הוא ממעלה ‪ ,3‬לכן אם היה פריק היה חייב להיות לו שורש‪.‬‬ ‫משפט ‪2.1.19‬‬ ‫אי אפשר לחלק זווית כללית לתונה ל‪ 3‬ע״י סרגל ומחוגה‪.‬‬ ‫הערה ‪ 2.1.20‬למעשה נוכיח שאת הזווית ◦‪ 60‬אי אפשר לחלק ל‪ .3‬באופן שקול‪ :‬המספר הממשי ) ◦‪ cos (20‬לא ניתן לבנייה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מטרתנו להוכיח כי ) ◦‪ cos (20‬לא ניתן לבנייה‪ .‬נסמן‪β = 2 cos (20◦ ) :‬ץ‬ ‫זהות טריגונומטרית כללית‪ ψ :‬זוית כלשהי אזי מתקיים‪:‬‬ ‫)‪cos (3ψ) = 4 cos3 (ψ) − 3 cos (ψ‬‬ ‫נישם עבור ◦‪ .ψ = 20‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ◦‪= 4 cos3 (20◦ ) − 3 cos (20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאמור‪:‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ◦‪ cos (20‬ולכן‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪− 3 ⇒ = β 3 − β ⇒ β 3 − 3β − 1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2.2‬פריקות של פולינומים‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫למה ‪2.1.21‬‬ ‫הפולינום ‪ x3 − 3x − 1 = 0‬הוא פולינום אי־פריק‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נחליף את ‪ x‬ב ‪ x + 1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫= ‪(x + 1) x2 + 2x + 1 − 3x − 4‬‬ ‫= ‪f (x + 1) = (x + 1) − 3 (x + 1) − 1‬‬ ‫= ‪x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 − 3x − 4‬‬ ‫‪x3 + 3x2 − 3‬‬ ‫למה ‪2.1.22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הפולינום ‪ x + 3x − 3‬הוא אי פריק‪.‬‬ ‫הערה ‪ 2.1.23‬למה ‪ ⇐ 2‬למה ‪ cos (20◦ ) ⇐ 1‬לא ניתן לבנייה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגררת מיידית מקריטריון אייזנשטיין אשר נראה עוד רגע עבור ‪.p = 3‬‬ ‫ובכך למעשה סיימנו את הוכחה המשפט מכיוון שמזה נובע כי‪:‬‬ ‫]‪3 = [Q (β) : Q] = [Q (cos (20◦ )) : Q‬‬ ‫וזה גורר כי ) ◦‪ cos (20‬לא ניתן לבנייה‪.‬‬ ‫‪ 2.2‬פריקות של פולינומים‬ ‫טענה ‪2.2.1‬‬ ‫אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬פולינום ו‪ a ∈ F :‬אזי )‪ f (x‬אי פריק אם״ם )‪ f (x + a‬אי פריק‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מספיק להוכיח שאם )‪ f (x‬פריק אזי גם )‪ f (x + a‬פריק‪.‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.2‬כי אם )‪ f (x + a) = g (x‬אזי‪.f (x) = g (x − a) :‬‬ ‫וזה טריוויאלי כי‪ f (x) = h (x) k (x) :‬אז‪.f (x + a) = h (x + a) k (x + a) :‬‬ ‫‪2.2.1‬‬ ‫קריטריון אייזנשטיין )‪(Eisenstein‬‬ ‫משפט ‪ 2.2.3‬קריטריון אייזנשטיין‬ ‫אם ‪ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0‬פולינום ב]‪ Q [x‬עם מקדמים שלמים ‪.ai ∈ Z‬‬ ‫נניח שקיים ‪ p‬ראשוני כך ש‪:‬‬ ‫‪p ∤ an .1‬‬ ‫‪ p | ai .2‬לכל ‪i = 0, . . . , n − 1‬‬ ‫‪p2 ∤ a0 .3‬‬ ‫אזי )‪ f (x‬פולינום אי־פריק ב ]‪.Q [x‬‬ ‫למה ‪ 2.2.4‬למת גאוס‬ ‫אם ]‪ f (x) ∈ Z [x‬אי פריק ב]‪ Z [x‬אזי הוא גם אי פריק ב ]‪.Q [x‬‬ ‫או‪ :‬אם קיימים פולינומים ]‪ h (x) , g (x) ∈ Q [x‬לא קבועים כך ש‪ f (x) = g (x) h (x) :‬אזי קיימים ]‪ g ′ (x) , h′ (x) ∈ Z [x‬לא קבועים‬ ‫כך ש )‪.f (x) = g ′ (x) h′ (x‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ .2.2‬פריקות של פולינומים‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח )‪ f (x) = g (x) h (x‬כאשר ]‪ g (x) , h (x) ∈ Q [x‬פוינומים לא קבועים‪.‬‬ ‫ע״י הכפלה במכנה המשותף הקטן ביותר )נסמנו ‪ (m‬של כל המכנים של כל מקדמי )‪ g (x) , h (x‬אפשר להניח ש‪mf (x) = :‬‬ ‫)‪ .g (x) h (x‬כך ש ‪ m ∈ N‬ו‪:‬‬ ‫]‪g (x) , h (x) ∈ Z [x‬‬ ‫נניח ש‪ p‬מחלק את ‪ .m‬נוכיח שעבור או )‪ g (x‬או )‪ h (x‬הוא גם מחלק את כל המקדמים שלהם‪ .‬וזה יסיק את ההוכחה‪.‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ p‬אינו מחלק את כל מקדמי )‪ g (x‬ואינו מחלק את כל מקדמי )‪.h (x‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪ai xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪mf (x‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ואילו‪:‬‬ ‫‪bi xi‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪ci xi‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪h (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫יהיו ‪ i0 , j0‬האינדקסים הקטנים ביותר כך ש‪ p ∤ bi0 :‬ו‪ .p ∤ cj0 :‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪ai0 +j0 = b0 ci0 +j0 + b1 · ci0 +j0 −1 + . . . + bi0 cj0 + bi0 +1 cj0 −1 + . . . + bi0 +j0 c0‬‬ ‫אבל נבחין כי כולם פרט למסומן מתחלקים ב‪ p‬מכיוון שהנחנו כי ‪ i0 , j0‬הם הראשונים שלא מחלקים‪.‬‬ ‫כלומר רק ‪ bi0 cj0‬לא מתחלק ב‪ p‬ולכן ‪ p ∤ ai0 +j0‬וזו סתירה‪.‬‬ ‫כעת יש לנו את הכלים להוכיח את קריטריון אייזנשטיין‪:‬‬ ‫משפט ‪ 2.2.5‬קריטריון אייזנשטיין‬ ‫אם ‪ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0‬פולינום ב]‪ Q [x‬עם מקדמים שלמים ‪.ai ∈ Z‬‬ ‫נניח שקיים ‪ p‬ראשוני כך ש‪:‬‬ ‫‪p ∤ an .1‬‬ ‫‪ p | ai .2‬לכל ‪i = 0, . . . , n − 1‬‬ ‫‪p2 ∤ a0 .3‬‬ ‫אזי )‪ f (x‬פולינום אי־פריק ב ]‪.Q [x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על פי למת גאוס‪ ,‬מספיק להוכיח שאי אפשר לכתוב את )‪ f (x) = g (x) h (x‬כאשר ]‪ g (x) , h (x) ∈ Z [x‬פולינומים לא‬ ‫קבועים‪.‬‬ ‫נניח שכן‪ ,‬נכתוב‪:‬‬ ‫‪bi xi‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪ci xi‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪h (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫כאשר ‪.bi , ci ∈ Z ,n > k, l ≥ 1‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪a0 = b 0 c0‬‬ ‫‪22‬‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫‪ .2.3‬השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי‬ ‫ועל פי ההנחה ‪ p2 ∤ b0 c0‬ו‪ p | b0 c0 :‬לכן אחד מ ‪ b0 c0‬מתחלק ב‪ p‬אבל לא שניהם‪ .‬בלי הגבלת הכלליות‪ ,‬נניח ‪ p | b0‬ו‪.p ∤ c0 :‬‬ ‫נשים לב שלא ייתכן ש ‪ p | bi‬לכל ‪ i = 0, . . . , k‬כי ‪.p ∤ an‬‬ ‫יהא ‪ i0‬האינדקס הראשון כך ש ‪.i0 ≤ k n p ∤ bi0‬‬ ‫נחשב את ‪:ai0‬‬ ‫‪ai0 = b0 ci0 + b1 ci0 −1 + . . . + bi0 −1 c1 + bi0 c0‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫מתחלק ב‪p‬‬ ‫ואילו האיבר הממוסגר אינו מתחלק ב‪) p‬כיוון שהנחנו בה״כ כי ‪ p ∤ bi0‬וגם ‪.(p ∤ bi0‬‬ ‫וזו סתירה להנחה ש ‪) p ∤ ai0‬נזכור ש ‪.( i0 < k‬‬ ‫דוגמה ‪ 2.2.6‬לכן ‪ xn − p‬הוא אי פריק‪ ,‬וגם ‪ xn + px + p‬ועוד רבים אחרים‪...‬‬ ‫מסקנה ‪2.2.7‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ n‬יש פולינום אי פריק ממעלה ב]‪. Q [x‬‬ ‫‪ .2‬וכמו כן‪ ,‬לכל ‪ n‬יש ל‪ Q‬הרחבה ‪ E‬כך ש ‪.[E : Q] = n‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ ,n‬יש ל‪ Q‬הרחבה ‪ E ⊂ C‬ממעלה ‪.n‬‬ ‫‪ .4‬לכל ‪ n ∈ N‬יש ‪ E ⊆ R‬הרחבה של ‪ Q‬עם ‪.[E : Q] = n‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫√‬ ‫נקח ‪n p‬‬ ‫‪ .4‬יהי ‪ p > 0 ,p (x) = xn − p‬ראשוני ב ‪.Z‬‬ ‫‪[E : Q] = deg (p (x)) = n‬‬ ‫= ‪) α‬השורש הממשי של ‪ .(p‬ואז ‪ E = Q (α) ⊂ R‬ומתקיים‬ ‫טענה ‪2.2.8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫יהא ‪ p‬מספר ראשוני‪ .‬נתבונן בפולינום‪ .x − 1 :‬נפרק אותו‪+ . . . + x + x + 1 :‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪P i‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫= ‪ f (x) = xx−1‬הוא אי־פריק‪.‬‬ ‫אזי ‪x‬‬ ‫‪p−2‬‬ ‫‪+x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪x − 1 = (x − 1) x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב )‪.f (x + 1‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪p p−1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p 1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p−2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ ...+‬‬ ‫‪x +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ i‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪(x + 1) − 1‬‬ ‫=‬ ‫= )‪f (x + 1‬‬ ‫‪(x + 1) − 1‬‬ ‫‬ ‫הנ״ל‪ ,‬אפשר להפעיל את קריטריון אייזנשטיין‪ ,‬מאחר ו‪ p | pi :‬לכל ‪) 0 < i < p‬ואלה בדיוק מופיעים שם(‪ .‬ו‪:‬‬ ‫נבחין כי על הפולינום ‬ ‫‪ .p ∤ pp = 1‬וגם‪ .p2 ∤ p1 = p :‬ולכן מקריטריון אייזנשטיין נקבל כי )‪ f (x + 1‬אי פריק‪ ,‬ולכן גם )‪ f (x‬אי פריק וסיימנו‪.‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי‬ ‫‪ p‬ראשוני‪ .‬נסתכל ב‪ p‬שורשי היחידה של ‪ 1‬ב‪:C‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪| k = 0, . . . , p − 1‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪p k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪µ (p) = ei‬‬ ‫נרצה לספח את כולם‪.‬‬ ‫נסמן ))‪ .E = Q (µ (p‬נשים לב שמאחר ו ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אז אם )‪ 1 6= λ ∈ µ (p‬אזי ))‪ .Q (λ) = Q (µ (p‬בגלל ש)‪ µ (p‬היא למעשה‬ ‫חבורה ציקלית מסדר ראשוני‪ ,‬וכל איבר ‪ λ 6= 1‬בתוכה יוצר אותה‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪ .2.3‬השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי‬ ‫הפולינום‪:‬‬ ‫‪ .λ‬ולכן‪:‬‬ ‫‪xp −1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬ ‫= ‪ 1 + x + x2 + . . . + xp−1‬הוא אי פריק‪ ,‬לפי הטענה האחרונה‪ .‬הוא מאפס את ‪ λ‬ולכן זה הפולינום המינימלי של‬ ‫‪[Q (µ (p)) : Q] = [Q (λ) : Q] = p − 1‬‬ ‫‪24‬‬